Ciągłość funkcji liczona z granic

[Maturzysta2k18]

Cześć!
Mam wyznaczyć a dla których f(x) jest ciągła :

a) f(x) = (1/e)^(x-3) dla x<=3
_/(ax-3) dla x > 3

b) f(x) = 1/(2-x) dla x<0 i x>4
ax + 1/2 dla 0<=x<=4

Wiem, że aby wyznaczyć taką liczbę "a" potrzebuję, by limes jednej funkcji równał się limesowi drugiej funkcji. Więc napisałem sobie, że :
lim (1/e)^(x-3) = lim _/(ax-3)
x->3- ................ x-> 3+
Lecz na tym kończy się moja wiedza. Nie mam pojęcia jak działać na tej liczbie Eulera i średnio rozumiem granice.
Prosiłbym bardzo serdecznie o wytłumaczenie mi tego przykładu krok po kroku.

[radagast]

a) "_/(ax-3)" co to znaczy ? (jak ta funkcja jest określona dl x>3 ? )

[radagast]

b) f(x) = 1/(2-x) dla x<0 i x>4
ax + 1/2 dla 0<=x<=4

\(f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2-x}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla\ \ \ x<0\ \ lub\ x>4\\ ax+\frac{1}{2} \ \ \ \ dla\ \ 0 \le x \le 4 \end{cases}\)
Tak miało być ?

[Maturzysta2k18]

_/ to znak pierwiastka, całe to wyrażenie jest pod pierwiastkiem. Tak, druga funkcja się zgadza.

[radagast]

\(f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2-x}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla\ \ \ x<0\ \ lub\ x>4\\ ax+\frac{1}{2} \ \ \ \ dla\ \ 0 \le x \le 4 \end{cases}\)
\(\Lim_{x\to 0^-}f(x)= \frac{1}{2}\)
\(\Lim_{x\to 4^+}f(x)= -\frac{1}{2}\)
zatem prosta \(y=ax+ \frac{1}{2}\) musi przechodzić przez punkty \(\left( 0, \frac{1}{2} \right)\) oraz \(\left( 4,- \frac{1}{2} \right)\)

No to \(a=- \frac{1}{4}\).

[radagast]

Cześć!
Mam wyznaczyć a dla których f(x) jest ciągła :

a) f(x) = (1/e)^(x-3) dla x<=3
_/(ax-3) dla x > 3

\(f(x)= \begin{cases} \frac{1}{e}^{x-3}\ \ \ \ \ \ \ \ \ dla\ \ x \le 3\\ \sqrt{ax-3} \ \ \ dla \ \ \ x>3 \end{cases}\)
\(\Lim_{x\to 3^- } f(x)=1\)
zatem
\(\Lim_{x\to 3^+ } \sqrt{ax-3}=1\)
czyli \(a= \frac{4}{3}\)

[Maturzysta2k18]

\(f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2-x}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla\ \ \ x<0\ \ lub\ x>4\\ ax+\frac{1}{2} \ \ \ \ dla\ \ 0 \le x \le 4 \end{cases}\)
\(\Lim_{x\to 0^-}f(x)= \frac{1}{2}\)
\(\Lim_{x\to 4^+}f(x)= -\frac{1}{2}\)
zatem prosta \(y=ax+ \frac{1}{2}\) musi przechodzić przez punkty \(\left( 0, \frac{1}{2} \right)\) oraz \(\left( 4,- \frac{1}{2} \right)\)

No to \(a=- \frac{1}{4}\).

Czy dałoby się ten przykład rozwiązać rownież poprzez użycie limesów? Bo robiąc limesy z obustronnym 0 wychodzi mi po prostu 1/2 = 1/2 a nie ma żadnej wartości "a", natomiast robiąc limesy z obustronną 4 wychodzi mi a = -1/4 czyli tyle ile powinno.

[radagast]

ScreenHunter_439.jpg (21.64 KiB) Przejrzano 1704 razy

Przypatrz się obrazkowi (wykres funkcji \(f\) dla \(a=- \frac{1}{4}\)) i przemyśl.

[Maturzysta2k18]

ScreenHunter_439.jpg

Przypatrz się obrazkowi (wykres funkcji \(f\) dla \(a=- \frac{1}{4}\)) i przemyśl.

Na wykresie widać, że dążą obustronnie do 1/2 i do -1/2, więc powinno się dać obie przedstawić limesami, ale no ten z 0 mi nie wychodzi :/ .

[radagast]

\(\Lim_{x\to 0^-} f(x)=\Lim_{x\to 0^-} \frac{1}{2-x} = \frac{1}{2}\)
\(\Lim_{x\to 0^+} f(x)=\Lim_{x\to 0^+} - \frac{1}{4} x+ \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) (dla dowolnego \(a\), więc co Ci nie wychodzi ?)


Prosta \(y= ax+\frac{1}{2}\) przecina oś OY w punkcie \(\frac{1}{2}\). Funkcja f jest ciągła w 0 dla każdego \(a\). O Wartości \(a\) będzie decydować tylko granica w \(4\)

PS
Dobrze ,że drążysz temat. Drąż, aż zrozumiesz !

[Maturzysta2k18]

W sensie robiłem tak jak Ty zrobiłaś w pierwszym limesie, czyli dążący do 0 z lewej strony i wychodziła mi 1/2, więc przyrównuję drugiego limesa ax+1/2 do tego co wyszło w pierwszym czyli do 1/2, no i jak podstawie 0 za x to wychodzi, że 1/2 = 1/2 czyli L=P, czyli w sumie nie wiem co to znaczy, ale na pewno nie wychodzi mi konkretna wartość parametru a. A tych graficznych zobrazowań tego wszystkiego nie rozumiem jeszcze za bardzo, mam słabą wyobraźnię przestrzenno-matematyczną :/ .

PS. Bardzo mi pomogłaś w przygotowaniu do matury, więc meega wielkie dzięki! Dodatkowo teraz pomagasz mi z pierwszymi trudnościami na wymarzonych studiach, więc też super wdzięczny jestem !