Wyznacz wielomiany możliwie najniższego stopnia tak, aby...

[tometomek91]

Wyznacz wielomiany \(P(x)\) i \(Q(x)\) najniższego stopnia, dla których
\((x^{4}-2x^{3}-4x^{2}+6x+1)P(x) \equiv x^{4}-(x^{3}-5x-3)Q(x)\).

[anka]

Załóżmy, że \(P(x)=ax+b\), wtedy \(Q(x)=cx^2+dx+e\)

\((x^4-2x^3-4x^2+6x+1)(ax+b) =-x^4-(x^3-5x-3)(cx^2+dx+e)\)

Rozwijając i porównując wspólczynniki wyjdzie \(a=b=c=d=e=0\)

Założmy, że \(P(x)=ax^2+bx+c\), wtedy \(Q(x)=dx^3+ex^2+fx+g\)
\((x^4-2x^3-4x^2+6x+1)(ax^2+bx+c) =-x^4-(x^3-5x-3)(dx^3+ex^2+fx+g)\)

\(ax^6 + x^5(b - 2a) - x^4(4a + 2b - c) + x^3(6a - 4b - 2c) + x^2(a + 6b - 4c) + x(b + 6c) + c =\\
- dx^6 - ex^5 + x^4(5d - f - 1) + x^3(3d + 5e - g) + x^2(3e + 5f) + x(3f + 5g) + 3g\)
porównując współczynniki wyjdzie
\(\{a = -9 \\b = 26\\ c = 21 \\d = 9 \\e = -44 \\f = 39 \\g = 7\)

\(P(x)=-9x^2+26x+21\)
\(Q(x)=9x^3-44x^2+39x+7\)

[tometomek91]

Dziękuję.