udowodnij ze jesli p>=5 i g-p=2 sa liczbami pierwszymi takimi ze to liczka p+q jest podzielna przez 12
prosze o pomoc
Podzielność liczb
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Podzielność liczb
zadanie:)
udowodnij ze jesli p>=5 i g-p=2 sa liczbami pierwszymi takimi ze to liczka p+q jest podzielna przez 12
prosze o pomoc
udowodnij ze jesli p>=5 i g-p=2 sa liczbami pierwszymi takimi ze to liczka p+q jest podzielna przez 12
prosze o pomoc
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Czegoś tu brakuje w założeniu,bo dla p=5, q=7 ------ > p+q =12 ,ale p=7 , q=11 ----- > p+g=18 (nie dzieli się przez 12)
p=11,q=13----->p+q =24 , ale p=13,q=15 ------> p+q = 28 "
p=17,q=19----->p+q =36, ale p 19,q=21 --------p+q = 40 "
Domyślam się,że liczba p ma być pierwsza i liczba q też.
Co wiemy o liczbie g???
p=11,q=13----->p+q =24 , ale p=13,q=15 ------> p+q = 28 "
p=17,q=19----->p+q =36, ale p 19,q=21 --------p+q = 40 "
Domyślam się,że liczba p ma być pierwsza i liczba q też.
Co wiemy o liczbie g???
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
Trochę chyba pomieszane w treści. Chyba powinna brzmieć: "... jeśli p i q są liczbami pierwszymi takimi, że \(p \ge 5\ i\ q-p=2\), to liczba p+q dzieli się przez 12".
Jeśli p i q są liczbami pierwszymi większymi od 2, to muszą być postaci:
p=4n+1 i q=4n+3.
Liczba p+q=4n+1+4n+3=8n+4=4(2n+1). Liczba ta dzieli się przez 4, bo jest wielokrotnością liczby 4.
Jeśli obie liczby są większe od 3, to żadna z nich nie dzieli się przez 3. Liczba 4n+2 jest średnią arytmetyczną liczb p i q. Ponieważ liczby p, 4n+2, q to 3 kolejne liczby naturalne, więc jedna z nich dzielić się musi przez 3. Zatem liczba 4n+2=(2n+1) dzielić się musi przez 3. Zatem przez 3 musi dzielić się liczba 2n+1. Oznacza to, że liczba p-q=4(2n+1) dzieli się przez 4 i dzieli się przez 3. Dzielić się więc musi przez 12.
Jeśli liczba p=4n+3, to liczba q=4n+5. Wtedy p+q=8n+8=4(2n+2)=2(4n+4). Liczba 4n+4 leży między liczbami p i q. Dzielić się więc musi przez 3. A więc dowód - podobny
Jeśli p i q są liczbami pierwszymi większymi od 2, to muszą być postaci:
p=4n+1 i q=4n+3.
Liczba p+q=4n+1+4n+3=8n+4=4(2n+1). Liczba ta dzieli się przez 4, bo jest wielokrotnością liczby 4.
Jeśli obie liczby są większe od 3, to żadna z nich nie dzieli się przez 3. Liczba 4n+2 jest średnią arytmetyczną liczb p i q. Ponieważ liczby p, 4n+2, q to 3 kolejne liczby naturalne, więc jedna z nich dzielić się musi przez 3. Zatem liczba 4n+2=(2n+1) dzielić się musi przez 3. Zatem przez 3 musi dzielić się liczba 2n+1. Oznacza to, że liczba p-q=4(2n+1) dzieli się przez 4 i dzieli się przez 3. Dzielić się więc musi przez 12.
Jeśli liczba p=4n+3, to liczba q=4n+5. Wtedy p+q=8n+8=4(2n+2)=2(4n+4). Liczba 4n+4 leży między liczbami p i q. Dzielić się więc musi przez 3. A więc dowód - podobny