1
oblicz objętosc ostrosłupa prawidłowego mając dane długości krawędzi podrstawy 6 i krawędzi bocznej 12
a) trójkątego
b)czworokątnego
c) 6-kątnego
2
oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu wiedząc że powiększenie jego krawędzi o 1 cm zwiększa objętośc o 61 cm3
3
oblicz objętość prostopadłościanu w którym krawędzie podstawy mają 3 i 4 cm zaś przekątna jest nachylona pod kątem 60stopni
4
oblicz objętośc graniastosłupa prawidłowego 6-kątnego wiedząc ze krawędz podstawy wynosi 2 cm oraz najdłuższa przekątna graniastosłupa jest 4 krotnie dłuzsza od najkrótszej przekątnej podstawy
5
oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego trójkątnego którego przekątna sciany bocznej ma długość 8 cm zaś podstawa jest foremna
Prosze o uratowanie mnie przed jedynką z matematyki
Bryły przestrzenne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
Wysokość ostrosłupa- H wraz z krawędzią boczną - b i promieniem okręgu opisanego na podstawie- R tworzą trójkąt prostokątny.
Krawędź podstawy: a=6, b=12
a)
R to \(\frac{2}{3}\) wysokości trójkąta podstawy
\(R=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\\R=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\)
\(R^2+H^2=b^2\\(2\sqrt{3})^2+H^2=12^2\\H^2+12=144\\H^2=132\\H=12\sqrt{11}\)
Objętość:
\(V=\frac{1}{3}P_pH\\P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\\P_p=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\\V=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot12\sqrt{11}=36\sqrt{33}\)
b)
Dla kwadratu R to połowa przekątnej
\(R=\frac{1}{2}a\sqrt{2}\\R=\frac{1}{2}\cdot6\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)
\(R^2+H^2=b^2\\(3\sqrt{2})^2+H^2=12^2\\18+H^2=144\\H^2=126\\H=3\sqrt{14}\)
Objętość:
\(P_p=a^2\\P-p=6^2=36\\V=\frac{1}{3}\cdot36\cdot3\sqrt{14}=36\sqrt{14}\)
c)
Dla sześciokąta R=a, czyli R=6
\(R^2+H^2=b^2\\6^2+H^2=12^2\\H^2+36=144\\H^2=108\\H=6\sqrt{3}\)
Objętość:
\(P_p=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\\P_p=6\cdot\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=54\sqrt{3}\\V=\frac{1}{3}\cdot54\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3}=108\cdot3=324\)
Wysokość ostrosłupa- H wraz z krawędzią boczną - b i promieniem okręgu opisanego na podstawie- R tworzą trójkąt prostokątny.
Krawędź podstawy: a=6, b=12
a)
R to \(\frac{2}{3}\) wysokości trójkąta podstawy
\(R=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\\R=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\)
\(R^2+H^2=b^2\\(2\sqrt{3})^2+H^2=12^2\\H^2+12=144\\H^2=132\\H=12\sqrt{11}\)
Objętość:
\(V=\frac{1}{3}P_pH\\P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\\P_p=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\\V=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot12\sqrt{11}=36\sqrt{33}\)
b)
Dla kwadratu R to połowa przekątnej
\(R=\frac{1}{2}a\sqrt{2}\\R=\frac{1}{2}\cdot6\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)
\(R^2+H^2=b^2\\(3\sqrt{2})^2+H^2=12^2\\18+H^2=144\\H^2=126\\H=3\sqrt{14}\)
Objętość:
\(P_p=a^2\\P-p=6^2=36\\V=\frac{1}{3}\cdot36\cdot3\sqrt{14}=36\sqrt{14}\)
c)
Dla sześciokąta R=a, czyli R=6
\(R^2+H^2=b^2\\6^2+H^2=12^2\\H^2+36=144\\H^2=108\\H=6\sqrt{3}\)
Objętość:
\(P_p=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\\P_p=6\cdot\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=54\sqrt{3}\\V=\frac{1}{3}\cdot54\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3}=108\cdot3=324\)
4.
a=2- krawędź podstawy
Najkrótsza przekątna podstawy ma długość \(p=a\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)
Dłuższa przekątna podstawy \(d=2a=4\)
Dłuższa przekątna graniastosłupa \(k=4\cdot2\sqrt{3}=8\sqrt{3}\)
\(H^2+d^2=k^2\\H^2+4^2=(8\sqrt{3})^2\\H62+16=192\\H^2=176\\H=4\sqrt{11}\)
\(P_p=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\\P_p=6\cdot\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}\\V=P_pH\\V=6\sqrt{3}\cdot4\sqrt{11}=24\sqrt{33}\)
a=2- krawędź podstawy
Najkrótsza przekątna podstawy ma długość \(p=a\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)
Dłuższa przekątna podstawy \(d=2a=4\)
Dłuższa przekątna graniastosłupa \(k=4\cdot2\sqrt{3}=8\sqrt{3}\)
\(H^2+d^2=k^2\\H^2+4^2=(8\sqrt{3})^2\\H62+16=192\\H^2=176\\H=4\sqrt{11}\)
\(P_p=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\\P_p=6\cdot\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}\\V=P_pH\\V=6\sqrt{3}\cdot4\sqrt{11}=24\sqrt{33}\)