przedziały wypukłości funkcji

[radosnykonik]

Rozumiem, że najpierw wyznaczam dziedzinę, która dla tych przykładów jest R

potem liczę pochodną i drugą pochodną i robię równanie y '' = 0

tylko jak to zrobić w tych przykładach

[Galen]

Liczysz pierwszą,a potem drugą pochodną.
Ustalasz znak drugiej pochodnej i miejsca zerowe drugiej pochodnej.
\(a)\\f(x)=3x^5-5x^4+1\;\;\;\;\;\;D= \rr \\f'(x)=15x^4-20x^3\\f"(x)=60x^3-60x^2=60x^2(x-1)\\f"(x)=0\;\;\;dla\;\;\;x=0\;\;\;lub\;\;\;x=1\)
\(f"(x)>0\;\;\;x-1>0\;\;\;\;\;\;x>1\)
Funkcja jest wypukła w przedziale \((0;+ \infty )\)
\(f"(x)<0\;\;\;\;\;\;\;\;\;x<1\)
Funkcja jest wklęsła w \((- \infty ;1)\)
Punkt przegięcia:
\(x=1\\y=f(1)=3-5+1=-1\\P=(1;-1)\)
W zerze nie ma punktu przegięcia,bo druga pochodna po obu stronach zera ma ten sam znak.

[radosnykonik]

Dziękuję Udało się mi wczesniej samodzielnie obliczyć Jednak na zadanie drugie nie mam pomysłu bo ten -x nie wiem jak wyliczyć

[Galen]

Zad.b)
\(f(x)=3x \cdot e^{-x}= \frac{3x}{e^x}\;\;\;\;\;\;\;\;D= \rr \\f'(x)= \frac{3e^x-3xe^x}{(e^x)^2}= \frac{e^x(3-3x)}{(e^x)^2}= \frac{3-3x}{e^x}\\f"(x)= \frac{-3e^x-(3-3x)e^x}{(e^x)^2}= \frac{-3e^x-3e^x+3xe^x}{(e^x)^2}= \frac{-6e^x+3xe^x}{(e^x)^2}= \frac{-6+3x}{e^x}\\f"(x)>0\;\;\;\;gdy\;\;\;-6+3x>0\\3x>6\\x>2\\funkcja\;wypukła\;dla\;x\in(2;+ \infty )\)
\(f"(x)<0\;\;\;\;\;\;gdy\;\;\;\;\;-6+3x<0\\3x<6\\x<2\\Funkcja\;\; wklęsła\;\;dla\;x\in (- \infty ;2)\)
Punkt przegięcia
\(x=2\\y=f(2)= \frac{3 \cdot 2}{e^2}= \frac{6}{e^2}\approx 0,8\)
\(P=(2\;;\; \frac{6}{e^2})\)

[radosnykonik]

Mógłbyś powoli mi wyjaśnić jak obliczasz drugą pochodną?

[Galen]

Mógłbyś powoli mi wyjaśnić jak obliczasz drugą pochodną?

Korzystam z wzoru na pochodną ilorazu.
\([ \frac{f(x)}{g(x)}]'= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\)

[radosnykonik]

Ok, tylko od czego zaczynasz liczenie drugiej pochodnej? W żaden sposób -6 + 3x nie da -3e.

Mógłbyś wskazać początek liczenia drugiej pochodnej?

[Galen]

\(f"(x)=[ \frac{3-3x}{e^x}]'= \frac{(3-3x)' \cdot e^x-(3-3x) \cdot (e^x)'}{(e^x)^2}=...\)
Dalej wstawiasz...
\(3'=0\\(3x)'=3\\(e^x)'=e^x\)

[radosnykonik]

Teraz już jasne, wielkie dzięki