Kilka szybkich zadanek z analizy! Pilne!

[Kubaks]

Głównie mi zależy na zadaniach 1, 3 a oraz b oraz 5
Dzięki bardzo!

[Kubaks]

https://imgur.com/m2fr2vf

[panb]

Za szybko - zdaje się, że po drodze pogwałciłeś (nomen omen) regulamin.
Przepisz te zadania, na których ci zależy - szanujmy swój czas i ... nerwy.
pozdrawiam

[Kubaks]

Zad 1.
Oblicz \(\sqrt{3i}\)

[panb]

To zrób tak:
Niech \(\sqrt{3i}=x+iy\). Zatem
\(3i=(x+iy)^2\\
3i=x^2-y^2+2xyi \So \begin{cases}x^2-y^2=0\\2xy=3 \end{cases}\)

Rozwiąż układ i zbuduj z iksem i igrekiem szukane liczby będące pierwiastkiem z (3i).
Dasz radę?

[Kubaks]

Zad 1. Oblicz
Oblicz \(\sqrt{3i}\)
Zad 3. Oblicz pochodną funkcji
a) \(y(x)= \frac{x^2\sin (\frac{1}{x}) }{2x-1}\)
b) \(y(x)=(ctgx)^ \sqrt{x}\)
Zad 5. Oblicz całkę (przez podstawienie)
\(\int_{\frac{dx}{(tgx)cos^2x}}\)
Przepraszam za zamieszanie

[panb]

3a) trzeba zastosować wzór na pochodna ilorazu czyli \[\frac{\text{pochodna licznika} \cdot \text{mianownik}-\text{pochodna mianownika} \cdot \text{licznik}}{(\text{mianownik})^2}\] Skomplikowana jest pochodna licznika. Policzę, a ty sobie dokończysz, ok?

[panb]

\((x^2\sin(1/x))'=2x \cdot \sin \left( \frac{1}{x} \right) +x^2 \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right) \cdot \left( \frac{1}{x} \right)'=2x\sin\left( \frac{1}{x} \right)+x^2\cos\left( \frac{1}{x} \right) \cdot \left( - \frac{1}{x^2} \right)\)

Reasumując, pochodna licznika =\(2x\sin\left( \frac{1}{x} \right)-\cos\left( \frac{1}{x} \right)\)

[Kubaks]

@panb okej chociaż nie mam dzisiaj do tego głowy kompletnie to spróbuję

[panb]

Spróbuj! Nagroda cię nie minie!
Nie masz weny dzisiaj, zostaw na jutro.

[Kubaks]

@panb Niestety nie mam tyle czasu, uroki sesji!

[panb]

3b) wymaga specjalnego traktowania - x jest w podstawie i w wykładniku.
Wzór do tego typu pochodnych: \[\left( f^{g}\right)'= \left( e^{g\ln{f}}\right)'=f^g \cdot (g\ln f)'=f^g(g'\ln f+ \frac{g}{f} \cdot f')\] \((\ctg x)^{\sqrt x}=e^{\ln \left[(\ctg x)^{\sqrt x} \right] }=e^{\sqrt x \cdot \ln(\ctg x)} \So f(x)=\ctg x,\,\,\, g(x)=\sqrt x\)

Trzeba policzyć:

• \(f'(x)=(\ctg x)'=- \frac{1}{\sin^2x} \\
  g'(x)=(\sqrt x)'=- \frac{1}{2\sqrt x}\)

i podstawić do powyższego wzoru. To żmudne ale nietrudne.

[Kubaks]

Dobra wracając do zadania nr 1
Układ równań policzony i wyszło\(x=\frac{ \sqrt{6} }{2} oraz y=\frac{ \sqrt{6} }{2}\)

[Kubaks]

I nie wiem jak to zadanie nr 1 kontynuować.

[panb]

Całka wygląda groźnie ale ... nie ma zębów.
\(\int \frac{dx}{\tg x \cdot \cos^2x} =\int \left(\frac{1}{\tg x} \cdot \frac{1}{\cos^2x} \right)dx= \begin{vmatrix}\tg x=t\\ \frac{1}{\cos^x}=dt \end{vmatrix}=\int \frac{dt}{t}\)

Resztę już na pewno dasz radę dokończyć.
Nie chcę cię pozbawiać przyjemności dokończenia zadanka.

Zadania nie są złośliwe - to dobrze rokuje.

Powodzenia w sesji.