Oblicz granicę ciągów

[Euvarios]

Większość przykładów udało mi się rozwiązać, problem mam z dwoma. Starałem się skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach, ale na niewiele się to zdawało. Byłbym bardzo wdzięczny za podpowiedź jak powinienem się za to zabrać.
1) \(\Lim_{n\to \infty } \frac{n^{10}-n!}{n^{12}}\) Granica ewidentnie wynosi \(- \infty\).
2) \(\Lim_{n\to \infty } (\frac{2n+1}{3n+1})^n\) Tu z kolei widać, że będzie równa 0.
Pytanie brzmi jak to teraz udowodnić? Z góry dziękuję za odpowiedzi...

@Edit
Chciałbym jeszcze upewnić się, ze dobrze rozwiązałem ten przykład:
\(\Lim_{n\to \infty } \sqrt[2n]{(n^2+1)^{n+1}}=\Lim_{n\to \infty } ((n^2+1)^{n+1})^ {\frac{1}{2n}}=\Lim_{n\to \infty } (n^2+1)^ {\frac{n+1}{2n}}\)
\(\Lim_{n\to \infty } \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}\) więc \(\Lim_{n\to \infty } (n^2+1)^ {\frac{n+1}{2n}} = \infty ^ \frac{1}{2}= \infty\)

[Galen]

1)
\(\Lim_{n\to\infty } \frac{n^{10}-n!}{n^{12}}= \Lim_{n\to \infty } \frac{ \frac{1}{n^2}- \frac{n!}{n^2} }{1}= \Lim_{n\to\infty }( \frac{1}{n^2}- \frac{(n-1)!}{n})=0-\infty=- \infty\)
2)
\(( \frac{2n+1}{3n+1} )^n= \frac{(2n+1)^n}{(3n+1)^n}= \frac{((1+ \frac{1}{2n})\cdot 2n)^n }{((1+ \frac{1}{3n}) \cdot 3n)^n }= \frac{(1+ \frac{1}{2n} )^{2n\cdot\frac{1}{2}} \cdot 2^n \cdot n^n}{(1+ \frac{1}{3n})^{3n \cdot \frac{1}{3} } \cdot 3^n \cdot n^n }\)
Przechodząc do granicy masz...
\(\Lim_{n\to\infty }a_n= \frac{e^{ \frac{1}{2} }}{e^{ \frac{1}{3} }} \cdot ( \frac{2}{3} )^n=e^{ \frac{1}{6} } \cdot 0=0\)

[radagast]

2)
\(( \frac{2n+1}{3n+1} )^n= \frac{(2n+1)^n}{(3n+1)^n}= \frac{((1+ \frac{1}{2n})\cdot 2n)^n }{((1+ \frac{1}{3n}) \cdot 3n)^n }= \frac{(1+ \frac{1}{2n} )^{2n\cdot\frac{1}{2}} \cdot 2^n \cdot n^n}{(1+ \frac{1}{3n})^{3n \cdot \frac{1}{3} } \cdot 3^n \cdot n^n }\)
Przechodząc do granicy masz...
\(\Lim_{n\to\infty }a_n= \frac{e^{ \frac{1}{2} }}{e^{ \frac{1}{3} }} \cdot ( \frac{2}{3} )^n=e^{ \frac{1}{6} } \cdot 0=0\)

albo po prostu:
\(\Lim_{n\to \infty }( \frac{2n+1}{3n+1} )^n= \left( \frac{2}{3} \right) ^ \infty =0\)
No ale wtedy jest mniej zabawy

[Euvarios]

albo po prostu:
\(\Lim_{n\to \infty }( \frac{2n+1}{3n+1} )^n= \left( \frac{2}{3} \right) ^ \infty =0\)
No ale wtedy jest mniej zabawy

Mogę tak zrobić podczas egzaminu? Wywalić jedynki tylko dlatego, że przy nieskończoności nie mają one większego znaczenia? Myślisz, że egzaminujący coś takiego uznają?

[radagast]

Z cała pewnością !
Nie wywalasz jedynek tylko liczysz granicę !
\(\Lim_{n\to \infty } \frac{2n+1}{3n+1}= \frac{2}{3}\)

[Euvarios]

A przypadkiem nie jest tak, że\(\Lim_{n\to \infty }(a_n)^{b_n} = (\Lim_{n\to \infty }a_n)^{\Lim_{n\to \infty }b_n}\) tylko wtedy gdy \(a_n\) i \(b_n\) są zbieżne? Tutaj ewidentnie \(b_n\) nie jest zbieżny... Jak to z tym jest?

[radagast]

Zapewniam Cię , że \(\left( \frac{2}{3}\right) ^ \infty =0\)