Oblicz sumę \[\sum_{n=1}^{\ \infty } \frac{n}{3^n}\].
Bardzo proszę o wytłumaczenie. Z góry dziękuję
Oblicz sumę szeregu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 129
- Rejestracja: 23 lis 2014, 16:48
- Podziękowania: 86 razy
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
\(S= \frac{1}{3}+2( \frac{1}{3})^2+ 3( \frac{1}{3})^3+ 4( \frac{1}{3})^4+....\\
S= \frac{1}{3}+( \frac{1}{3})^2+ ( \frac{1}{3})^2+ ( \frac{1}{3})^3+2( \frac{1}{3})^3+ ( \frac{1}{3})^4+ 3( \frac{1}{3})^4+....\\
S= \left\{ \frac{1}{3}+( \frac{1}{3})^2+ ( \frac{1}{3})^3+ ( \frac{1}{3})^4+....\right\} + \left\{ \frac{1}{3})^2+ ( \frac{1}{3})^3+2( \frac{1}{3})^3+ 3( \frac{1}{3})^4+....\right\} \\
S= \left\{ \frac{ \frac{1}{3}}{1- \frac{1}{3}} \right\} + \frac{1}{3} \left\{ \frac{1}{3}+2( \frac{1}{3})^2+ 3( \frac{1}{3})^3+ ....\right\} \\
S= \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}S\\
S= \frac{3}{4}\)
S= \frac{1}{3}+( \frac{1}{3})^2+ ( \frac{1}{3})^2+ ( \frac{1}{3})^3+2( \frac{1}{3})^3+ ( \frac{1}{3})^4+ 3( \frac{1}{3})^4+....\\
S= \left\{ \frac{1}{3}+( \frac{1}{3})^2+ ( \frac{1}{3})^3+ ( \frac{1}{3})^4+....\right\} + \left\{ \frac{1}{3})^2+ ( \frac{1}{3})^3+2( \frac{1}{3})^3+ 3( \frac{1}{3})^4+....\right\} \\
S= \left\{ \frac{ \frac{1}{3}}{1- \frac{1}{3}} \right\} + \frac{1}{3} \left\{ \frac{1}{3}+2( \frac{1}{3})^2+ 3( \frac{1}{3})^3+ ....\right\} \\
S= \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}S\\
S= \frac{3}{4}\)