Dane są liczby \(z_{1}=2−2i \sqrt{3}, z_{2}=−3 + 3i, z_{3}=− \sqrt{6} +i \sqrt{2} .\)
Wyznaczyć:
a)\(z^{23}\)
b)\(\sqrt[3]{z_2}\)
c)\(\sqrt[4]{z_3}\)
d)\(\left( \frac{z_2}{z_3} \right)^2\)
e)miejsca zerowe trójmianu \(z^2+5z+2|z_1|=0\)
Liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
a) które z?
b) do pierwiastków jest wzór, tylko najpierw trzeba sprowadzić do postaci trygonometrycznej:
d)do kwadratu podnosi się normalnie - z wzorów skróconego mnożenia np. - potem trzeba "usunąć urojoność" z mianownika. Rzecz jasna należy pamiętać, że \(i^2=-1\)
(np. \(\sqrt{-4}=2i,\quad \sqrt{-5}=i\sqrt5\)). Najpierw oczywiście liczymy \(|z_1|=4\)
Odp.: \(z_1= \frac{-5-i\sqrt7}{2},\,\,\, z_2=\frac{-5+i\sqrt7}{2}\)
b) do pierwiastków jest wzór, tylko najpierw trzeba sprowadzić do postaci trygonometrycznej:
- \(z_2=-3+3i \So |z_2|=\sqrt{9+9}=3\sqrt2 \So z_2=3\sqrt2 \left(- \frac{\sqrt2}{2}+ \frac{\sqrt2}{2}i \right)\\
\cos\varphi=- \frac{\sqrt2}{2},\,\,\,\sin\varphi= \frac{ \sqrt{2} }{2} \So \varphi=180^\circ -45^ \circ \iff \varphi=\pi- \frac{\pi}{4}= \frac{3}{4}\pi\\
z_2=3\sqrt2 \left(\cos \frac{3}{4}\pi+i\sin \frac{3}{4}\pi\right)\)
d)do kwadratu podnosi się normalnie - z wzorów skróconego mnożenia np. - potem trzeba "usunąć urojoność" z mianownika. Rzecz jasna należy pamiętać, że \(i^2=-1\)
- \(z_2^2=(-3+3i)^2=9-18i-9=-18i\\ z_3^2= \left(-\sqrt6+i\sqrt2 \right)^2=6-2i\sqrt{12}-2=4-4i\sqrt3=4 \left( 1-i\sqrt3\right)\\
\left( \frac{z_2}{z_2} \right)^2=\ldots= \frac{-18i}{4 \left( 1-i\sqrt3\right)}=- \frac{9i}{ 2 \left( 1-i\sqrt3\right) }=- \frac{9i \left( 1+i\sqrt3\right) }{2\left( 1-i\sqrt3\right)\left( 1+i\sqrt3\right)}= \frac{9\sqrt3}{8}- \frac{9}{8}i\)
(np. \(\sqrt{-4}=2i,\quad \sqrt{-5}=i\sqrt5\)). Najpierw oczywiście liczymy \(|z_1|=4\)
Odp.: \(z_1= \frac{-5-i\sqrt7}{2},\,\,\, z_2=\frac{-5+i\sqrt7}{2}\)
Re:
Czy tutaj można skrócić 18 z 4?
- \(\left( \frac{z_2}{z_2} \right)^2= \frac{-18i}{4 \left( 1-i\sqrt3\right)}=- \frac{9i}{ 2 \left( 1-i\sqrt3\right) }\)
- \(- \frac{9i \left( 1+i\sqrt3\right) }{2\left( 1-i\sqrt3\right)\left( 1+i\sqrt3\right)}= \frac{9\sqrt3}{8}- \frac{9}{8}i\)
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Re:
Jest mnożenie, można skracać.lukash-17 pisze:Czy tutaj można skrócić 18 z 4?Jeśli tak, to jak tutaj wygląda to przekształcenie, bo nie mogę sobie z tym poradzić znów:/
- \(\left( \frac{z_2}{z_2} \right)^2= \frac{-18i}{4 \left( 1-i\sqrt3\right)}=- \frac{9i}{ 2 \left( 1-i\sqrt3\right) }\)
- \(- \frac{9i \left( 1+i\sqrt3\right) }{2\left( 1-i\sqrt3\right)\left( 1+i\sqrt3\right)}= \frac{9\sqrt3}{8}- \frac{9}{8}i\)
\(- \frac{9i \left( 1+i\sqrt3\right) }{2\left( 1-i\sqrt3\right)\left( 1+i\sqrt3\right)}= \frac{-9i+9\sqrt3}{2(1+3)}=...\)
Cyba zapominasz, że \(i \cdot i=-1\), czy co?