\(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+3x)}{x}\). Na podstawie rachunku granic, czyli bez reguły H.
A potem (ciągle bez reguły de Hospitala):
\(\lim_{ x\to 0} \sqrt[x]{1-2x}\).
\(\lim_{ x\to \infty }x( \ln(x+1)-lnx)\)
\(\lim_{x \to0 } \frac{\ln(x+3)-ln3}{x}\)
Granica z logarytmem naturalnym
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Stały bywalec
- Posty: 365
- Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
- Podziękowania: 199 razy
- Płeć:
Granica z logarytmem naturalnym
Ostatnio zmieniony 20 lis 2017, 12:28 przez poetaopole, łącznie zmieniany 3 razy.
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Granica z logarytmem naturalnym
A "od pieca" będzie tak:
\(e= \Lim_{n\to \infty } \left(1+ \frac{1}{n} \right)^n \So \\
1=\Lim_{n\to \infty } \ln \left(1+ \frac{1}{n} \right)^n= \Lim_{n\to \infty } n\ln \left(1+ \frac{1}{n} \right)=\Lim_{n\to \infty } \frac{ \ln \left(1+ \frac{1}{n} \right) }{ \frac{1}{n} }=\Lim_{u\to 0} \frac{ \ln \left(1+u \right) }{ u }= \Lim_{x\to 0} \frac{ \ln \left(1+3x \right) }{ 3x } \So\\
3= \Lim_{u\to 0} \frac{ \ln \left(1+3x \right) }{ x }\)
\(e= \Lim_{n\to \infty } \left(1+ \frac{1}{n} \right)^n \So \\
1=\Lim_{n\to \infty } \ln \left(1+ \frac{1}{n} \right)^n= \Lim_{n\to \infty } n\ln \left(1+ \frac{1}{n} \right)=\Lim_{n\to \infty } \frac{ \ln \left(1+ \frac{1}{n} \right) }{ \frac{1}{n} }=\Lim_{u\to 0} \frac{ \ln \left(1+u \right) }{ u }= \Lim_{x\to 0} \frac{ \ln \left(1+3x \right) }{ 3x } \So\\
3= \Lim_{u\to 0} \frac{ \ln \left(1+3x \right) }{ x }\)
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Granica z logarytmem naturalnym
poetaopole pisze: \(\lim_{ x\to 0} \sqrt[x]{1-2x}\).
\(\Lim_{x\to 0}\sqrt[x]{1-2x}=\Lim_{x\to 0}(1-2x)^{\frac{1}{x}}=\Lim_{x\to 0}(1-2x)^{(\frac{1}{-2x}\cdot (-2))}=e^{-2}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Granica z logarytmem naturalnym
poetaopole pisze: \(\lim_{ x\to \infty }x( \ln(x+1)-lnx)\)
\(\Lim_{x\to \infty}(x\ln \frac{x+1}{x})=\Lim_{x\to \infty}(x\ln(1+\frac{1}{x})=\Lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\cdot\ln (1+x)=1\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Granica z logarytmem naturalnym
\(\Lim_{x\to 0}\frac{\ln\frac{x+3}{3}}{x}=\Lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\ln (1+\frac{3}{x})=\Lim_{x\to 0}(\cdot\frac{1}{3}\frac{3}{x}\cdot \ln (1+\frac{3}{x}))=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}\)poetaopole pisze: \(\lim_{x \to0 } \frac{\ln(x+3)-ln3}{x}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
-
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Re: Granica z logarytmem naturalnym
Można jeszcze tak;eresh pisze:poetaopole pisze: \(\lim_{ x\to \infty }x( \ln(x+1)-lnx)\)
\(\Lim_{x\to \infty}(x\ln \frac{x+1}{x})=\Lim_{x\to \infty}(x\ln(1+\frac{1}{x})=\Lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\cdot\ln (1+x)=1\)
\(\Lim_{x\to \infty }xln \frac{x+1}{x}= \Lim_{x\to \infty}(1+ \frac{1}{x})^x =ln e=1\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.