Funkcja różniczkowalna spełniająca warunki
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 129
- Rejestracja: 23 lis 2014, 16:48
- Podziękowania: 86 razy
Funkcja różniczkowalna spełniająca warunki
Czy istnieje funkcja różniczkowalna \(f: \rr \to \rr\) taka, że \(f(1)=f(-1)=1\), \(f(0)=0\), \(|f'(x)|\le 1\)?
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Inaczej:
Pochodna w punkcie to jednocześnie współczynnik kierunkowy stycznej do funkcji w tym punkcie.
Załóżmy że w przedziale \(\left(-1,0 \right)\) funkcja maleje od (-1,1) do (0,0). Skoro współczynnik kierunkowy stycznej nie może być mniejszy od -1 to jedyną możliwą funkcją na tym przedziale jest \(y=-x\). Z analogicznych powodów na przedziale \(\left(0,1 \right)\) jedyną możliwą funkcją jest \(y=x\). O ile tak zadana funkcja jest ciągła w x=0, to nie jest tam różniczkowalna. Wniosek: szukana funkcja nie istnieje.
Pochodna w punkcie to jednocześnie współczynnik kierunkowy stycznej do funkcji w tym punkcie.
Załóżmy że w przedziale \(\left(-1,0 \right)\) funkcja maleje od (-1,1) do (0,0). Skoro współczynnik kierunkowy stycznej nie może być mniejszy od -1 to jedyną możliwą funkcją na tym przedziale jest \(y=-x\). Z analogicznych powodów na przedziale \(\left(0,1 \right)\) jedyną możliwą funkcją jest \(y=x\). O ile tak zadana funkcja jest ciągła w x=0, to nie jest tam różniczkowalna. Wniosek: szukana funkcja nie istnieje.