Witam. Mam problem z tymi zadaniami.
Zadanie 1.
Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego czwarokątnego są trójkątami równobocznymi. Wyznacz:
a) miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy
b) miarę kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
c) miarę kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi
Zadanie 2.
Dany jest czworościan foremny, którego krawędź ma długość a. Wyznacz:
a) miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy
b) miarę kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
c) miarę kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi
Ostrosłupy
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Wszystkie krawędzi tego ostrosłupa mają taką samą długość. Oznaczyłam tę długość a.
a)
Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy tego ostrosłupa to kąt miedzy tą krawędzią a promieniem okręgu opisanego na kwadracie podstawy (połowa przekątnej)
\(cos\alpha=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\alpha=45^o\)
b)
Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt między wysokością ściany bocznej (wysokość trójkąta równobocznego o boku a) a promieniem okręgu wpisanego w podstawę (połowa boku):
\(cos\beta=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
c)
Kąt między ścianami bocznymi to kąt między ich wysokościami. Mamy tutaj trójkąt równoramienny, którego podstawą jest przekątna kwadratu podstawy, a ramiona to wysokości trójkątów równobocznych.
Z twierdzenia cosinusów:
\((a\sqrt{2})^2=(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2-2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\ cos\gamma\\2a^2=\frac{3}{2}a^2-\frac{3}{2}a^2\ cos\gamma\\\frac{a^2}{2}=-\frac{3}{2}a^2\ cos\gamma\\cos\gamma=-\frac{1}{3}\)
a)
Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy tego ostrosłupa to kąt miedzy tą krawędzią a promieniem okręgu opisanego na kwadracie podstawy (połowa przekątnej)
\(cos\alpha=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\alpha=45^o\)
b)
Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt między wysokością ściany bocznej (wysokość trójkąta równobocznego o boku a) a promieniem okręgu wpisanego w podstawę (połowa boku):
\(cos\beta=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
c)
Kąt między ścianami bocznymi to kąt między ich wysokościami. Mamy tutaj trójkąt równoramienny, którego podstawą jest przekątna kwadratu podstawy, a ramiona to wysokości trójkątów równobocznych.
Z twierdzenia cosinusów:
\((a\sqrt{2})^2=(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2-2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\ cos\gamma\\2a^2=\frac{3}{2}a^2-\frac{3}{2}a^2\ cos\gamma\\\frac{a^2}{2}=-\frac{3}{2}a^2\ cos\gamma\\cos\gamma=-\frac{1}{3}\)
2.
Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, R, to \(\frac{2}{3}\) wysokości trójkąta, promień okręgu wpisanego, r, to \(\frac{1}{3}\) wysokości trójkąta. Wysokość trójkąta \(h=\frac{a\sqrt{3}}[2}\)
a)
\(cos\alpha=\frac{R}{a}\\cos\alpha=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
b)
\(cos\beta=\frac{r}{h}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3}\)
c)
Mamy tu trójkąt równoramienny o ramionach równych h i podstawie a. Z twierdzenia cosinusów:
\(a^2=(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2-2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\ cos\gamma\\-\frac{a^2}{2}=-\frac{3}{2}a^2\ cos\gamma\\cos\gamma=\frac{1}{3}\)
Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, R, to \(\frac{2}{3}\) wysokości trójkąta, promień okręgu wpisanego, r, to \(\frac{1}{3}\) wysokości trójkąta. Wysokość trójkąta \(h=\frac{a\sqrt{3}}[2}\)
a)
\(cos\alpha=\frac{R}{a}\\cos\alpha=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
b)
\(cos\beta=\frac{r}{h}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3}\)
c)
Mamy tu trójkąt równoramienny o ramionach równych h i podstawie a. Z twierdzenia cosinusów:
\(a^2=(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2-2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\ cos\gamma\\-\frac{a^2}{2}=-\frac{3}{2}a^2\ cos\gamma\\cos\gamma=\frac{1}{3}\)