Mamy 3 urny U1, U2, U3. Urna U1 zawiera 4 kule czerwone i 3 zielone. W urnach
U2, U3 znajdują się odpowiednio 4 kule białe, 6 czarnych oraz 6 białych i 2 czarne.
Z urny U1 losujemy dwie kule. Jeżeli obie kule są czerwone, to losujemy jedną
kulę z urny U2, w przeciwnym przypadku losujemy jedną kulę z urny U3. Oblicz
prawdopodobieństwo wylosowania 2 kul czerwonych z urny U1, jeśli wiadomo, ze
wylosowano kule czarną z którejś z pozostałych urn
prawdopodobieństwo wylosowania 2 kul czerwonych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
O \(\Omega\) będę myślał jak o parach \(((x,y),z)\), gdzie \((x,y)\) jest wynikiem losowania kul z pierwszej urny, a \(z\) jest wynikiem losowania z którejś z pozostałych urn.
Niech
A - zdarzenie polegające na tym, że wylosowano najpierw 2 czerwone kule
C - w późniejszym losowaniu wylosowano czarną kulę (tzn. z jest czarną kulą)
Wówczas \(P(A|C)=\frac{P(A\cap C)}{P(C)}=\frac{\frac{|A\cap C|}{|\Omega|}}{\frac{|C|}{|\Omega|}}=\frac{|A\cap C|}{|C|}\).
W pierwszym losowaniu możemy albo wylosować 2 czerwone, albo 2 zielone, albo 1 czerwoną i 1 zieloną.
Ile jest zdarzeń C, \({4\choose 2}\cdot6+{3\choose 2}\cdot 2+4\cdot3\cdot2=66\).
\({4\choose 2}\cdot 6\), bo wybieramy 2 kule czerwone spośród 4, a następnie 1 czarną spośród 6.
\({3\choose 2}\cdot 2\), bo wybieramy 2 zielone spośród 3, a następnie 1 czarną spośród 2
\(4\cdot3\cdot2\), bo wybieramy 1 czerwoną spośród 4, 1 zieloną spośród 3 i 1 czarną spośród 2.
Ile jest zdarzeń z C sprzyjających A? To są te zdarzenia, że najpierw wylosowaliśmy 2 czerwone a następnie 1 czarną, czyli jest ich
\({4\choose 2}\cdot 6=36\)
Zatem
\(P(A|C)=\frac{36}{66}=\frac{6}{11}\).
Niech
A - zdarzenie polegające na tym, że wylosowano najpierw 2 czerwone kule
C - w późniejszym losowaniu wylosowano czarną kulę (tzn. z jest czarną kulą)
Wówczas \(P(A|C)=\frac{P(A\cap C)}{P(C)}=\frac{\frac{|A\cap C|}{|\Omega|}}{\frac{|C|}{|\Omega|}}=\frac{|A\cap C|}{|C|}\).
W pierwszym losowaniu możemy albo wylosować 2 czerwone, albo 2 zielone, albo 1 czerwoną i 1 zieloną.
Ile jest zdarzeń C, \({4\choose 2}\cdot6+{3\choose 2}\cdot 2+4\cdot3\cdot2=66\).
\({4\choose 2}\cdot 6\), bo wybieramy 2 kule czerwone spośród 4, a następnie 1 czarną spośród 6.
\({3\choose 2}\cdot 2\), bo wybieramy 2 zielone spośród 3, a następnie 1 czarną spośród 2
\(4\cdot3\cdot2\), bo wybieramy 1 czerwoną spośród 4, 1 zieloną spośród 3 i 1 czarną spośród 2.
Ile jest zdarzeń z C sprzyjających A? To są te zdarzenia, że najpierw wylosowaliśmy 2 czerwone a następnie 1 czarną, czyli jest ich
\({4\choose 2}\cdot 6=36\)
Zatem
\(P(A|C)=\frac{36}{66}=\frac{6}{11}\).