Mam wątpliwości co do tego jak wykonać poniższe działania, proszę o pomoc
\((\frac{1+1}{1-i}) ^3 =\)
\((1- \sqrt{3} i)^3 - (-1+ \sqrt{3} i) ^3 * i^4 =\)
\(( \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2} i)^2 - \frac{2i}{1-i} =\)
\((2-3i)^3 - \frac{2-4i}{1+i} =\)
\(*( \frac{2+i^9}{1+i^15} )^2 =\)
*(1 + i do 15)
działania na liczbach zespolonych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Tutaj nie ma niczego dziwnego. Tylko trzeba pamiętać, że z def. \(i^2=-1\)
- \(\left(\frac{1+i}{1-i} \right)^3= \left( \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} \right)^3 = \left( \frac{(1+i)^2}{1-i^2} \right)^3= \left( \frac{1+2i+i^2}{2} \right) ^3=\left( \frac{2i}{2} \right) ^3=i^3=i^2 \cdot i=-i\)
Dobrze to obliczyłam?
\((1- \sqrt{3}i)^3 - (-1+ \sqrt{3} i )^3 * i^4 = -i[(1-3 \sqrt{3} i +3 \sqrt{3}i^2- \sqrt{3} i^3) -(-1+ 3\sqrt{3}i -3 \sqrt{3}i^2+ \sqrt{3}i^3) =\)
\(=-i(1-3 \sqrt{3}i-3 \sqrt{3} + \sqrt{3} i + 1 - 3 \sqrt{3} i -3 \sqrt{3}i + \sqrt{3}i)= -i(2-6 \sqrt{3} -11 \sqrt{3}i)=-11 \sqrt{3} -2i+6 \sqrt{3}i\)
\(( \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i)^2- \frac{2i}{1-i} = (\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i)(\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i)- \frac{2i}{1-i} = \frac{1}{4}- \frac{ \sqrt{3} }{4}i - \frac{ \sqrt{3} }{2}i- \frac{3}{4} - \frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)} =\frac{1}{4}- \frac{ \sqrt{3} }{4}i - \frac{ \sqrt{3} }{2}i- \frac{3}{4} - \frac{2i-2}{2} =\)
\(=\frac{1}{4}- \frac{ \sqrt{3} }{4}i - \frac{ \sqrt{3} }{2}i- \frac{3}{4} -i +1= \frac{1}{2}- \frac{3 \sqrt{3} }{4}i-i\)
\((2-3i)^3 - \frac{2-4i}{1+i} =8+36i+54i^2+3i^3 -[ \frac{(2-4i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}]=8+36i+54i^2+3i^3 -( \frac{-2-6i}{2})=\) \(=8+36i+54i^2+3i^3 +1+3i=9+3i^3+54i^2+39i=9-3i-54+39i=-45+36i\)
\(( \frac{2+i^9}{1+i^15} )^2 = ( \frac{2+i}{1-i} )^2 = [ \frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}]^2=( \frac{1+3i}{2})^2= \frac{-8+6i}{4} = \frac{-4+3i}{2}\)
\((1- \sqrt{3}i)^3 - (-1+ \sqrt{3} i )^3 * i^4 = -i[(1-3 \sqrt{3} i +3 \sqrt{3}i^2- \sqrt{3} i^3) -(-1+ 3\sqrt{3}i -3 \sqrt{3}i^2+ \sqrt{3}i^3) =\)
\(=-i(1-3 \sqrt{3}i-3 \sqrt{3} + \sqrt{3} i + 1 - 3 \sqrt{3} i -3 \sqrt{3}i + \sqrt{3}i)= -i(2-6 \sqrt{3} -11 \sqrt{3}i)=-11 \sqrt{3} -2i+6 \sqrt{3}i\)
\(( \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i)^2- \frac{2i}{1-i} = (\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i)(\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i)- \frac{2i}{1-i} = \frac{1}{4}- \frac{ \sqrt{3} }{4}i - \frac{ \sqrt{3} }{2}i- \frac{3}{4} - \frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)} =\frac{1}{4}- \frac{ \sqrt{3} }{4}i - \frac{ \sqrt{3} }{2}i- \frac{3}{4} - \frac{2i-2}{2} =\)
\(=\frac{1}{4}- \frac{ \sqrt{3} }{4}i - \frac{ \sqrt{3} }{2}i- \frac{3}{4} -i +1= \frac{1}{2}- \frac{3 \sqrt{3} }{4}i-i\)
\((2-3i)^3 - \frac{2-4i}{1+i} =8+36i+54i^2+3i^3 -[ \frac{(2-4i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}]=8+36i+54i^2+3i^3 -( \frac{-2-6i}{2})=\) \(=8+36i+54i^2+3i^3 +1+3i=9+3i^3+54i^2+39i=9-3i-54+39i=-45+36i\)
\(( \frac{2+i^9}{1+i^15} )^2 = ( \frac{2+i}{1-i} )^2 = [ \frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}]^2=( \frac{1+3i}{2})^2= \frac{-8+6i}{4} = \frac{-4+3i}{2}\)
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
- \((1 - sqrt(3) i)^3 - (-1 + sqrt(3) i)^3 \cdot i^4=-16\)
- \(( \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2} i)^2 - \frac{2i}{1-i} = \frac{1}{2}- \left( 1+ \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)i\) -prawie ok
- \((2-3i)^3- \frac{2-4i}{1+i}=-45-6i\) - bardzo blisko
- \(\left( \frac{2+i^9}{1+i^{15}} \right) ^2 =\) - brawo, dobry wynik!
Re:
błędy poprawionepanb pisze:
- \((1 - sqrt(3) i)^3 - (-1 + sqrt(3) i)^3 \cdot i^4=-16\)
- \(( \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2} i)^2 - \frac{2i}{1-i} = \frac{1}{2}- \left( 1+ \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)i\) -prawie ok
- \((2-3i)^3- \frac{2-4i}{1+i}=-45-6i\) - bardzo blisko
- \(\left( \frac{2+i^9}{1+i^{15}} \right) ^2 =\) - brawo, dobry wynik!