równanie z parametrem i wart. bezwzględną
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 147
- Rejestracja: 05 mar 2009, 00:17
- Podziękowania: 131 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
równanie z parametrem i wart. bezwzględną
Mam zadanie maturalne (matura rozszerzona) z którym nie mogę sobie poradzić. Proszę pomóżcie:
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\) dla których równanie \(|x-a^3|+|x-4|=4-a^3\) ma co najmniej 13 rozwiązań całkowitych.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\) dla których równanie \(|x-a^3|+|x-4|=4-a^3\) ma co najmniej 13 rozwiązań całkowitych.
-
- Stały bywalec
- Posty: 871
- Rejestracja: 11 gru 2010, 17:46
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Otrzymane podziękowania: 415 razy
- Płeć:
Rozważmy sytuację: trzy liczby: \(c \le x \le d\), wówczas: suma odległości x od c i d jest równa odległości c i d, czyli:
\(|x-c| + |x-d| = |c-d| = d-c\)
Dla innych \(x\) ta nierówność nie jest prawdziwa, bo \(|x-c| + |x-d| > |c-d|\)
1) \(4 - a^3 < 0\) nie ma sensu bo lewa strona jest nieujemna
2) \(4 - a^3 \ge 0\):
Rozwiązaniem danego równania są wszystkie liczby z przedziału \(<a^3 ; 4>\). Przedział ten zawiera \(12\) liczb całkowitych jeśli \(a^3=-8\).
Czyli rozwiązaniem zadania jest zbiór liczb \(a\) spełniających warunek: \(a^3 \le -8\).
\(|x-c| + |x-d| = |c-d| = d-c\)
Dla innych \(x\) ta nierówność nie jest prawdziwa, bo \(|x-c| + |x-d| > |c-d|\)
1) \(4 - a^3 < 0\) nie ma sensu bo lewa strona jest nieujemna
2) \(4 - a^3 \ge 0\):
Rozwiązaniem danego równania są wszystkie liczby z przedziału \(<a^3 ; 4>\). Przedział ten zawiera \(12\) liczb całkowitych jeśli \(a^3=-8\).
Czyli rozwiązaniem zadania jest zbiór liczb \(a\) spełniających warunek: \(a^3 \le -8\).
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 147
- Rejestracja: 05 mar 2009, 00:17
- Podziękowania: 131 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
Proszę, może ktoś sprawdzi, gdzie mam błąd ?
Rozpisałam wartości bezwzględne na trzy przedziały i przeanalizowałam w każdym z nich równanie:
1\(x \in (- \infty ,a^3)\)
\(-x+a^3-x+4-4+a^3=0 \So -2x+2a^3=0\)
2\(x \in <a^3,4)\)
\(x-a^3-x+4-4+a^3=0 \So 0=0\) równanie tożsamościowe (nieskończenie wiele rozwiązań)
3\(x \in <4, \infty )\)
\(x-a^3+x-4+4+a^3=0 \So 2x=0\) równanie sprzeczne
Czy to jest dobrze ?
Rozpisałam wartości bezwzględne na trzy przedziały i przeanalizowałam w każdym z nich równanie:
1\(x \in (- \infty ,a^3)\)
\(-x+a^3-x+4-4+a^3=0 \So -2x+2a^3=0\)
2\(x \in <a^3,4)\)
\(x-a^3-x+4-4+a^3=0 \So 0=0\) równanie tożsamościowe (nieskończenie wiele rozwiązań)
3\(x \in <4, \infty )\)
\(x-a^3+x-4+4+a^3=0 \So 2x=0\) równanie sprzeczne
Czy to jest dobrze ?
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 147
- Rejestracja: 05 mar 2009, 00:17
- Podziękowania: 131 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
Re:
Wiem już dlaczego w lewo ale dlaczego w lewo od liczby -4 a nie od liczby 4 ?sebnorth pisze:odsuwam \(a^3\) w lewo od \(-4\) na odległość 12 jednostek, żeby pomieścić 13 liczb całkowitych
Dlaczego przesuwam o 12 jednostek a nie o 13 jednostek ?