zastosowanie rachunku różniczkowego

[mela1015]

Człowiek może wiosłować z punktu A do punktu na drugim brzegu kanału z prędkością 4km/h i biec po drugim brzegu z prędkością 16km/h. W którym punkcie L powinien przybić do brzegu, aby punkt C osiągnąć w jak najkrótszym czasie?

[radagast]

Na początek:
oznacz OL przez x i wyraź drogę ALC jako funkcję zmiennej x

[mela1015]

jak można wyrazić drogę ALC ?
\(\sqrt{1+x^2} +4-x\) ?

[radagast]

o to to
I teraz policz czas potrzebny na przebycie tych odcinków (oczywiście jako funkcję zmiennej x).

[mela1015]

\(t_1= \frac{ \sqrt{1+x} }{4}\)

\(t_2= \frac{4-x}{16}\)

\(t_1+t_2=4 \sqrt{1+x^2} +4-x\)

teraz pochodną z tego ?

[radagast]

Policz ten czas jeszcze raz, bo nie jest dobrze

[mela1015]

nie wiem co robię źle
\(\frac{ \sqrt{1+x^2}+4-x}{20}\)

[radagast]

Obawiam się,że wszystko .
Przypomnę, że \(t= \frac{s}{v}\)
Na początku zabrałaś się to lepiej.

[mela1015]

nie wiem jak to zrobić, już nic nie wymyślę

[radagast]

No to cena 21,70 pln. Wychodzi brzydko, ale wychodzi.

[Kervez]

hej @radagast, jesteś w stanie te zadanie zrobić dla mnie?

[radagast]

Nie wiem dlaczego mi się nie podobało rozwiązanie meli . Całkiem dobrze sobie z tym radziła
\(t_1+t_2=f(x)= \frac{4 \sqrt{1+x^2} +4-x}{16}= \frac{ \sqrt{1+x^2} }{4} + \frac{4-x}{16}, x \ge 0 \)
\(f'(x)= \frac{2x}{8\sqrt{1+x^2}} - \frac{1}{16} =\frac{x}{4\sqrt{1+x^2}} - \frac{1}{16}\)
\(f'(x)=0 \iff \frac{x}{4\sqrt{1+x^2}} - \frac{1}{16}=0\iff x= \frac{ \sqrt{15} }{15} \)
\(f'(x)>0 \iff \frac{x}{4\sqrt{1+x^2}} - \frac{1}{16}>0\iff x> \frac{ \sqrt{15} }{15} \)
zatem f przyjmuje najmniejszą watrość dla \(x=\frac{ \sqrt{15} }{15} \approx 0,26\)