Granica
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Matematyk_64
- Stały bywalec
- Posty: 549
- Rejestracja: 09 lut 2012, 14:18
- Lokalizacja: Legnica
- Otrzymane podziękowania: 161 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Spróbuj najpierw podstawienie \(t=1-x\)
Wrzutnia matematyczna: http://www.centrum-matematyki.pl/edukac ... tematyczna
gg: 85584
skype: pi_caria
gg: 85584
skype: pi_caria
- Matematyk_64
- Stały bywalec
- Posty: 549
- Rejestracja: 09 lut 2012, 14:18
- Lokalizacja: Legnica
- Otrzymane podziękowania: 161 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Re: Granica
Tak powinno wyjść
Wrzutnia matematyczna: http://www.centrum-matematyki.pl/edukac ... tematyczna
gg: 85584
skype: pi_caria
gg: 85584
skype: pi_caria
-
- Guru
- Posty: 17550
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Granica
Nie wiem jak Ci to wychodzi przy pomocy takiego prostego podstawienia. U mnie to za mało :
\(\Lim_{x\to1- }(1-x)^{\sin \pi x}= \begin{bmatrix} 1-x=t\\x=1-t\\ \Lim_{x\to 1} t=0\end{bmatrix} =\Lim_{t\to 0 }t^{\sin \pi (1-t)}=0^0=?\)
ale też sobie poradziłam :
\(\Lim_{x\to1- }(1-x)^{\sin \pi x}=\Lim_{x\to1- }e^{\ln \left( (1-x)^{\sin \pi x}\right) }=\Lim_{x\to1- }e^{\ln \left( (1-x)^{\sin \pi x}\right) }=(*)\)
policzmy granicę
\(\Lim_{x\to 1 } \ln \left( (1-x)^{\sin \pi x}\right)= \Lim_{x\to 1 } \ln \left( (1-x)^{\sin \pi x}\right)= \Lim_{x\to 1 } \frac{\ln \left( 1-x\right)}{ \frac{1}{\sin \pi x} }=^H=\Lim_{x\to 1 } \frac{- \frac{1}{1-x} }{ -\frac{\pi\cos \pi x}{\sin^2 \pi x} }=\Lim_{x\to 1 } \frac{\sin^2 \pi x}{(1-x)\pi\cos \pi x} =\\
\Lim_{x\to 1 } \frac{ \sin \left( \pi-\pi x\right) \cdot \sin \pi x }{\left( \pi-\pi x\right) \cos \pi x} =\Lim_{x\to 1 } 1 \cdot \tg \pi x=0\)
zatem \((*)=e^0=1\)
I to jest granica obustronna ( a nie tylko lewostronna)
\(\Lim_{x\to1- }(1-x)^{\sin \pi x}= \begin{bmatrix} 1-x=t\\x=1-t\\ \Lim_{x\to 1} t=0\end{bmatrix} =\Lim_{t\to 0 }t^{\sin \pi (1-t)}=0^0=?\)
ale też sobie poradziłam :
\(\Lim_{x\to1- }(1-x)^{\sin \pi x}=\Lim_{x\to1- }e^{\ln \left( (1-x)^{\sin \pi x}\right) }=\Lim_{x\to1- }e^{\ln \left( (1-x)^{\sin \pi x}\right) }=(*)\)
policzmy granicę
\(\Lim_{x\to 1 } \ln \left( (1-x)^{\sin \pi x}\right)= \Lim_{x\to 1 } \ln \left( (1-x)^{\sin \pi x}\right)= \Lim_{x\to 1 } \frac{\ln \left( 1-x\right)}{ \frac{1}{\sin \pi x} }=^H=\Lim_{x\to 1 } \frac{- \frac{1}{1-x} }{ -\frac{\pi\cos \pi x}{\sin^2 \pi x} }=\Lim_{x\to 1 } \frac{\sin^2 \pi x}{(1-x)\pi\cos \pi x} =\\
\Lim_{x\to 1 } \frac{ \sin \left( \pi-\pi x\right) \cdot \sin \pi x }{\left( \pi-\pi x\right) \cos \pi x} =\Lim_{x\to 1 } 1 \cdot \tg \pi x=0\)
zatem \((*)=e^0=1\)
I to jest granica obustronna ( a nie tylko lewostronna)
- Matematyk_64
- Stały bywalec
- Posty: 549
- Rejestracja: 09 lut 2012, 14:18
- Lokalizacja: Legnica
- Otrzymane podziękowania: 161 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Re: Granica
podstawienie na początek, żeby się \(1-x\) nie plątało
\(\Lim_{x\to 1-} (1-x)^{sin \pi x} = \Lim_{t\to 0+} t^{sin (\pi -t \pi )} = \Lim_{t\to 0+} t^{sin (t \pi )}\)
Teraz z twierdzenia o granicy funkcji złożonej (sprawdzenie założeń pozostawiam do samodzielnej weryfikacji)
\(\Lim_{t\to 0+ } {sin (t \pi )} = 0\)
\(\Lim_{t\to 0+} t^0 = 1\)
stąd poszukiwana granica jest równa 1
\(\Lim_{x\to 1-} (1-x)^{sin \pi x} = \Lim_{t\to 0+} t^{sin (\pi -t \pi )} = \Lim_{t\to 0+} t^{sin (t \pi )}\)
Teraz z twierdzenia o granicy funkcji złożonej (sprawdzenie założeń pozostawiam do samodzielnej weryfikacji)
\(\Lim_{t\to 0+ } {sin (t \pi )} = 0\)
\(\Lim_{t\to 0+} t^0 = 1\)
stąd poszukiwana granica jest równa 1
Ostatnio zmieniony 05 lut 2017, 19:16 przez Matematyk_64, łącznie zmieniany 1 raz.
Wrzutnia matematyczna: http://www.centrum-matematyki.pl/edukac ... tematyczna
gg: 85584
skype: pi_caria
gg: 85584
skype: pi_caria
- Matematyk_64
- Stały bywalec
- Posty: 549
- Rejestracja: 09 lut 2012, 14:18
- Lokalizacja: Legnica
- Otrzymane podziękowania: 161 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Re: Granica
radagast, ale granica \(\Lim_{x\to 0+ } x^0 = 1\).
Naprawdę trzeba to też udowadniać?
Naprawdę trzeba to też udowadniać?
Wrzutnia matematyczna: http://www.centrum-matematyki.pl/edukac ... tematyczna
gg: 85584
skype: pi_caria
gg: 85584
skype: pi_caria
- Matematyk_64
- Stały bywalec
- Posty: 549
- Rejestracja: 09 lut 2012, 14:18
- Lokalizacja: Legnica
- Otrzymane podziękowania: 161 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Re: Granica
radagast:
Bo w tym przykładzie nie są spełnione założenia dla użycia twierdzenia o granicy funkcji złożonej.
Generalnie mamy tu funkcje wielokrotnie złożoną i na każdym etapie muszą być spełnione założenia.
I tak tu już polegniemy na argumencie tego logarytmu w mianowniku wykładnika czyli na \(1/x\)
Tak intuicyjnie jak już jakiś element jest rozbieżny to porażka.
Bo w tym przykładzie nie są spełnione założenia dla użycia twierdzenia o granicy funkcji złożonej.
Generalnie mamy tu funkcje wielokrotnie złożoną i na każdym etapie muszą być spełnione założenia.
I tak tu już polegniemy na argumencie tego logarytmu w mianowniku wykładnika czyli na \(1/x\)
Tak intuicyjnie jak już jakiś element jest rozbieżny to porażka.
Wrzutnia matematyczna: http://www.centrum-matematyki.pl/edukac ... tematyczna
gg: 85584
skype: pi_caria
gg: 85584
skype: pi_caria
- Matematyk_64
- Stały bywalec
- Posty: 549
- Rejestracja: 09 lut 2012, 14:18
- Lokalizacja: Legnica
- Otrzymane podziękowania: 161 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Re: Granica
Ta Twoja jest złożeniem czterech (od zewnątrz)
1) Potęga o podstawie X
2) odwrotności
3) logarytmu naturalnego
4) z odwrotności x
No to cztery
Ta początkowa jacka złożeniem dwóch - ta już uproszczona przez podstawienie.
1) Potęga o podstawie x
2) sinusa \(( \pi x)\)
W twierdzeniu o którym mówię jednym z założeń jest to, że granice funkcji wewnętrznej muszą być punktem skupienia dla funkcji zewnętrznej. W przykładzie jacka tak jest w Twoim niestety nie.
1) Potęga o podstawie X
2) odwrotności
3) logarytmu naturalnego
4) z odwrotności x
No to cztery
Ta początkowa jacka złożeniem dwóch - ta już uproszczona przez podstawienie.
1) Potęga o podstawie x
2) sinusa \(( \pi x)\)
W twierdzeniu o którym mówię jednym z założeń jest to, że granice funkcji wewnętrznej muszą być punktem skupienia dla funkcji zewnętrznej. W przykładzie jacka tak jest w Twoim niestety nie.
Wrzutnia matematyczna: http://www.centrum-matematyki.pl/edukac ... tematyczna
gg: 85584
skype: pi_caria
gg: 85584
skype: pi_caria
- Matematyk_64
- Stały bywalec
- Posty: 549
- Rejestracja: 09 lut 2012, 14:18
- Lokalizacja: Legnica
- Otrzymane podziękowania: 161 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Re: Granica
Wszystko w sumie zależy od przykładu Najpierw trzeba sobie rozpoznać złożenie funkcji. Student musi to dobrze przećwiczyć. I jeśli idąc od wewnątrz natrafimy np. na granicę dążącą do nieskończoności - rozbieżną, albo brak granicy, albo nie należącą do dziedziny funkcji zewnętrznej to nie tędy droga. Częsty błąd to własnie używanie twierdzenia bez zwracania uwagi na założenia. I to nie tylko w tym twierdzeniu
Wrzutnia matematyczna: http://www.centrum-matematyki.pl/edukac ... tematyczna
gg: 85584
skype: pi_caria
gg: 85584
skype: pi_caria