Rozwiąż układy równań:
1.
{ f(x,y)= x^2 - 2xy + 3x = 0
{ g(x,y) = y^2 - 4x =0
2.
{ f(x,y)= xy^2 + y - x = 0
{ g(x,y) = xy - 1 =0
3.
{ f(x,y)= x^2 + y^2 - 2 = 0
{ g(x,y) = x^2 + y^2 - 1 =0
Układy równań
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Często tu bywam
- Posty: 162
- Rejestracja: 30 sty 2016, 08:57
- Podziękowania: 88 razy
-
- Guru
- Posty: 17552
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7436 razy
- Płeć:
Re: Układy równań
przypuszczam, ze autor zadania miał na myśli coś takiego:NieRozumiem85 pisze:Rozwiąż układy równań:
1.
{ f(x,y)= x^2 - 2xy + 3x = 0
{ g(x,y) = y^2 - 4x =0
\(\begin{cases} x^2 - 2xy + 3x = 0\\
y^2 - 4x =0 \end{cases}\)
i wtedy :
\(\begin{cases}x= \frac{ y^2}{4} \\x \left( x-2y+3\right) = 0
\end{cases}\) (interpretacja geometryczna do tego : para prostych przecinająca parabolę)
czyli:
\(\begin{cases}x= \frac{ y^2}{4} \\x=0 \vee x-2y+3= 0 \end{cases}\)
a po podstawieniu:
\(\begin{cases}x= \frac{ y^2}{4} \\x=0 \vee \frac{y^2}{4} -2y+3= 0 \end{cases}\)
\(\begin{cases}x= \frac{ y^2}{4} \\x=0 \vee y^2 -8y+12= 0 \end{cases}\)
\(\begin{cases}x= \frac{ y^2}{4} \\x=0 \vee y=6 \vee y=2 \end{cases}\)
mamy więc trzy pary rozwiązań :
\(\left( 0,0\right); \left(9,6 \right); \left(1,2 \right)\)
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Układy równań
Z warunku \(y^2-4x=0\) wynika, że rozwiązań należy szukać wśród \(\,\,x\ge0,\,\, \text{ bo }\,\, x=4y^2\)).NieRozumiem85 pisze:Rozwiąż układy równań:
1.
{ f(x,y)= x^2 - 2xy + 3x = 0
{ g(x,y) = y^2 - 4x =0
\(\begin{cases} x^2 - 2xy + 3x = 0\\y^2 - 4x =0 \end{cases} \iff \begin{cases} y^2=4x\\(x^2-2xy+y^2)-y^2+3x=0\end{cases} \iff \begin{cases}y^2=4x\\(x-y)^2-4x+3x=0 \end{cases}\\
\begin{cases}y^2=4x\\(x-y)^2-x=0 \end{cases} \iff \begin{cases} y^2=4x\\(x-y-\sqrt x)(x-y+\sqrt x)=0\\x\ge0\end{cases} \iff \begin{cases} y^2=4x\\y=x-\sqrt x\\x\ge0\end{cases} \vee \begin{cases}y^2=4x\\y=x+\sqrt x\\x\ge0 \end{cases}\)
Rozwiążę drugi z tych układów, pierwszy zrób samodzielnie jako własny wkład w zadanie.
\(\begin{cases}y^2=4x\\y=x+\sqrt x\\x\ge0 \end{cases} \iff \begin{cases} y=x+\sqrt x\\(x+\sqrt x)^2=4x\\x\ge 0\end{cases} \iff \begin{cases} y=x+\sqrt x\\ x^2+2x\sqrt x+x=4x\\x\ge0 \end{cases} \iff \begin{cases}x\ge0\\y=x+\sqrt x\\x(x+2\sqrt x-3)=0 \end{cases} \iff \\
\iff \begin{cases}x=0\\y=0 \end{cases} \vee \begin{cases}x\ge0\\ y=x+\sqrt x\\ x-3=-2\sqrt x\end{cases} \iff \begin{cases}x=0\\y=0 \end{cases} \vee \begin{cases}x\ge0\\y=x+\sqrt x\\(x-3)^2=4x \end{cases} \iff \begin{cases}x=0\\y=0 \end{cases} \vee \begin{cases} x\ge0\\y=x+\sqrt x\\ x^2-10x+9=0\end{cases} \\
\iff \begin{cases}x=0\\y=0 \end{cases} \vee \begin{cases}x=1\\y=2 \end{cases} \vee \begin{cases}x=9\\y=12 \end{cases}\)
Jak łatwo sprawdzić, liczba x=9, nie jest rozwiązaniem równania \(x-3=-2\sqrt x\)
Odp.: Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}y^2=4x\\y=x+\sqrt x\\x\ge0 \end{cases}\) są pary liczb (0,0) i (1,2).
Rozwiąż w podobny sposób drugi układ i w odpowiedzi podaj wszystkie pary liczb spełniające układ równań z zadania 1.
- Matematyk_64
- Stały bywalec
- Posty: 549
- Rejestracja: 09 lut 2012, 14:18
- Lokalizacja: Legnica
- Otrzymane podziękowania: 161 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Re: Układy równań
Trzecie można geometrycznie. Mamy tu dwa okręgi współśrodkowe o różnych promieniach, czyli nie przecinające się.
Wniosek sam się nasuwa
Wniosek sam się nasuwa
Wrzutnia matematyczna: http://www.centrum-matematyki.pl/edukac ... tematyczna
gg: 85584
skype: pi_caria
gg: 85584
skype: pi_caria
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Układy równań
z drugiego równania mamy \(xy=1\). Wtedy pierwsze równanie przyjmie postać \((xy)y+y-x=0 \iff 2y=x\).NieRozumiem85 pisze:Rozwiąż układy równań:
2.
{ f(x,y)= xy^2 + y - x = 0
{ g(x,y) = xy - 1 =0
Stąd otrzymujemy prosty układ równań \(\begin{cases}x=2y\\xy=1 \end{cases}\)
Do samodzielnego rozwiązania....