izometria
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Stały bywalec
- Posty: 488
- Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
- Podziękowania: 229 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
izometria
Wiedząc, że \(A=(3,-4)\) \(B=(1,1)\) \(C=(0,0)\) wskazać wszystkie izometrie \(f: \rr ^2 \to \rr ^2\) takie,że \(A,B \in Fix(f)\). Wyznaczyć obraz punktu C dla każdego z tych przekształceń .
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: izometria
ja go nie znam ale pewnie jakiś wzór na znajdowanie obrazu punktu w symetrii osiowej da się wyprowadzić. Może ktoś już to kiedyś zrobił (?)
-
- Fachowiec
- Posty: 2946
- Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
- Lokalizacja: Radom
- Otrzymane podziękowania: 1556 razy
- Płeć:
Re: izometria
może tak ?
\(f( (x,y))=( ax+by+e,cx+dy+f) =\begin{bmatrix}a& b \\ c&d\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} e \\ f\end{bmatrix}\)
\(f( (1,1)=(1,1)\) , \(f( (3,-4))=(3,-4)\) , brakuje trzeciego punktu , z prostej już nie bo tam sa tylko punkty stałe szukanej symetrii osiowej i każdny inny jest kombinacją liniową tych danych dwóch.
.........................................
biorę do rachunku np punkt \((1,1)\) ,jest to środek odcinka o końcach \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) , i prosta \(y=-\frac{5}{2} x +
\frac{7}{2}\) jest jego symetralną
wtedy punkty \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) leżą na : \(y=\frac{2}{5} x +
\frac{3}{5}\) ;
dostję układ \(\begin{cases}\frac{x_1+x_2}{2}=1\\ \frac{y_1+y_2}{2}=1 \\ y_1=\frac{2}{5} x_1 +
\frac{3}{5}\\ y_2=\frac{2}{5} x_2 +
\frac{3}{5} \end{cases}\)
dobieram sensowne \(x_2=-4\) . czyli \(x_1=6\) , czyli \(y_1=3\) , czyli \(y_2=-1\)
Stąd \(f( (6,3))=(-4,-1)\)
.........................................
teraz trzeba to przerzucić do układu równań
\(\begin{cases}a+b+e=1\\ c+d+e=1\\ 3a-4b+e=3\\3c-4d+f=-4\\6a+3b+e=-4\\6c+3d+f=-1 \end{cases}\)
..........................................
wisać do https://www.wolframalpha.com i dostajemy żądane współczynniki
........................................
Ale należy dokładnie sprawdzić powyższe rachunki , i zapewne ten sposób rachowania to jest wstęp do koszmaru
\(f( (x,y))=( ax+by+e,cx+dy+f) =\begin{bmatrix}a& b \\ c&d\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} e \\ f\end{bmatrix}\)
\(f( (1,1)=(1,1)\) , \(f( (3,-4))=(3,-4)\) , brakuje trzeciego punktu , z prostej już nie bo tam sa tylko punkty stałe szukanej symetrii osiowej i każdny inny jest kombinacją liniową tych danych dwóch.
.........................................
biorę do rachunku np punkt \((1,1)\) ,jest to środek odcinka o końcach \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) , i prosta \(y=-\frac{5}{2} x +
\frac{7}{2}\) jest jego symetralną
wtedy punkty \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) leżą na : \(y=\frac{2}{5} x +
\frac{3}{5}\) ;
dostję układ \(\begin{cases}\frac{x_1+x_2}{2}=1\\ \frac{y_1+y_2}{2}=1 \\ y_1=\frac{2}{5} x_1 +
\frac{3}{5}\\ y_2=\frac{2}{5} x_2 +
\frac{3}{5} \end{cases}\)
dobieram sensowne \(x_2=-4\) . czyli \(x_1=6\) , czyli \(y_1=3\) , czyli \(y_2=-1\)
Stąd \(f( (6,3))=(-4,-1)\)
.........................................
teraz trzeba to przerzucić do układu równań
\(\begin{cases}a+b+e=1\\ c+d+e=1\\ 3a-4b+e=3\\3c-4d+f=-4\\6a+3b+e=-4\\6c+3d+f=-1 \end{cases}\)
..........................................
wisać do https://www.wolframalpha.com i dostajemy żądane współczynniki
........................................
Ale należy dokładnie sprawdzić powyższe rachunki , i zapewne ten sposób rachowania to jest wstęp do koszmaru