granica funkcji,regula De L'Hospitala

[Iluminati91]

\(\Lim_{x\to0 } \frac{x- \arcsinx }{x^2}\)

[radagast]

\(\Lim_{x\to0 } \frac{x- \arcsin x }{x^2}=^H=\Lim_{x\to0 } \frac{1- \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} } }{2x}=\Lim_{x\to0 } \frac{\sqrt{1-x^2} - 1 }{2x\sqrt{1-x^2} }=\Lim_{x\to0 } \frac{\sqrt{1-x^2} - 1 }{2x\sqrt{1-x^2} } \cdot \frac{\sqrt{1-x^2} + 1 }{\sqrt{1-x^2} + 1 } =\Lim_{x\to0 } \frac{-x^2}{2x\sqrt{1-x^2} \left( \sqrt{1-x^2} + 1\right) }=\\
\Lim_{x\to0 } \frac{-x}{2\sqrt{1-x^2} \left( \sqrt{1-x^2} + 1\right) }=0\)

[radagast]

ale można było też tak:
\(\Lim_{x\to0 } \frac{x- \arcsin x }{x^2}=^*= \Lim_{t\to 0} \frac{\sin t -t}{\sin ^2 t}=^H=\Lim_{t\to 0} \frac{\cos t -1}{2\sin t\cos t}=\Lim_{t\to 0} \frac{\cos t -1}{\sin 2t}=^H=\Lim_{t\to 0} \frac{-\sin t}{2\cos 2t}= \frac{0}{2 \cdot 1}=0\)


\(^*\) podstawiłam \(x=\sin t\)

[Iluminati91]

Dziękuję.
A taki przykład? :

\(\Lim_{x\to \infty } \frac{ln(1+e^{2x})}{3x}\)

[radagast]

Dziękuję.
A taki przykład? :

\(\Lim_{x\to \infty } \frac{\ln(1+e^{2x})}{3x}\)

\(\Lim_{x\to \infty } \frac{\ln(1+e^{2x})}{3x}=^H=\Lim_{x\to \infty } \frac{ \frac{2e^{2x}}{1+e^{2x}} }{3}=\Lim_{x\to \infty } \frac{2e^{2x}}{3+3e^{2x}} =\Lim_{x\to \infty } \frac{2}{ \frac{3}{e^{2x}} +3}= \frac{2}{ \frac{3}{ \infty } +3}= \frac{2}{3}\)