równanie Eulera

[snowinska91]

Mam problem z takim równaniem Eulera:
\(2x^2y''+3xy'-y= \frac{1}{x}\).
Proszę o pomoc jak je rozwiązać?

[octahedron]

\(t=\ln x\\
y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}\\
y''=\frac{d}{dx}\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}\right)=-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\frac{dy}{dt}=-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{x^2}\frac{d^2y}{dt^2}\\
2x^2\left(-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{x^2}\frac{d^2y}{dt^2}\right)+3x\left(\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}\right)-y=\frac{1}{e^t}\\
2\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{dy}{dt}-y=e^{-t}\\\)
i mamy równanie o stałych współczynnikach.

[panb]

Albo korzystając z postaci rozwiązania \(y=x^r\) i uzmienniając stałe.

Najpierw równanie jednorodne: \(2x^2y''+3xy'-y=0\)
\(y=x^r \So y'=rx^{r-1} \So y''=r(r-1)x^{r-2}\) i równanie to przyjmie postać
\(2r(r-1)x^r+3rx^r-x^r=0 \So 2r^2+r-1=0 \iff 2(r+1)(r-1/2)=0 \So r=-1 \vee r=1/2\), więc
rozwiązaniem równania jednorodnego jest \(y=Ax^{-1}+By^{1/2}\)

Uzmienniamy stałe i mamy: \(y=A(x)x^{-1}+B(x)x^{1/2}\)
Dasz radę dalej?

[Robakks]

Rozwiązanie octahodrona jest wygodniejsze bo co jeśli pierwiastki będą wielokrotne albo zespolone