Proszę o pomoc w rozwiązaniu:
\(u_{xx} \ = \ u_{yy}\) ; \(\begin{cases} \xi \ = \ \xi (x,y) \ = \ x+y \\ \eta \ =\ \eta(x,y) = x-y\end{cases}\)
No więc dochodzę do momentu, gdzie dostaję:
\(u_{x} \ = \ x_{\xi} \ + \ x_{\eta} \\
u_{y} \ = \ x_{\xi} \ - \ x_{\eta}\)
Nie wiem jak policzyć \(u_{xx}, u_{yy}\).
Równanie różniczkowe cząstkowe - metoda podstawiania
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Korekta (o ile dobrze rozumiem) powinno być :
\(u_{xx}= (u_x)_x=(u_\xi+u_\eta)_x=(u_\xi)_x+(u_\eta)_x= \left(u_{\xi\xi} \cdot \xi_x+u_{\xi\eta} \cdot \eta_x \right) + \left( u_{\eta\xi} \cdot \xi_x+u_{\eta\eta} \cdot \eta_x\right) =u_{\xi\xi}+2u_{\eta\xi}+u_{\eta\eta}\)
\(u_{yy}=(u_y)_y=(u_\xi-u_\eta)_y=(u_\xi)_y-(u_\eta)_y= \left(u_{\xi\xi} \cdot \xi_y+u_{\xi\eta} \cdot \eta_y \right)- \left( u_{\eta\xi} \cdot \xi_y+u_{\eta\eta} \cdot \eta_y\right)=u_{\xi\xi}-u_{\xi\eta}-u_{\eta\xi}+u_{\eta\eta}\)
Reasumując:
- \(u_x= u_\xi+u_\eta\\
u_y=u_\xi-u_\eta\)
\(u_{xx}= (u_x)_x=(u_\xi+u_\eta)_x=(u_\xi)_x+(u_\eta)_x= \left(u_{\xi\xi} \cdot \xi_x+u_{\xi\eta} \cdot \eta_x \right) + \left( u_{\eta\xi} \cdot \xi_x+u_{\eta\eta} \cdot \eta_x\right) =u_{\xi\xi}+2u_{\eta\xi}+u_{\eta\eta}\)
\(u_{yy}=(u_y)_y=(u_\xi-u_\eta)_y=(u_\xi)_y-(u_\eta)_y= \left(u_{\xi\xi} \cdot \xi_y+u_{\xi\eta} \cdot \eta_y \right)- \left( u_{\eta\xi} \cdot \xi_y+u_{\eta\eta} \cdot \eta_y\right)=u_{\xi\xi}-u_{\xi\eta}-u_{\eta\xi}+u_{\eta\eta}\)
Reasumując:
- \(u_{xx}=u_{\xi\xi}+2u_{\eta\xi}+u_{\eta\eta}\\
u_{yy}=u_{\xi\xi}-2u_{\eta\xi}+u_{\eta\eta}\)
