Twierdzenie Darboux

[Artegor]

uzasadnij, że w przedziale \(<1.5\pi , 2\pi>\) równanie \(cosx= \frac{1}{x}\)ma tylko jeden pierwiastek.

[radagast]

uzasadnij, że w przedziale \(<1.5\pi , 2\pi>\) równanie \(cosx= \frac{1}{x}\)ma tylko jeden pierwiastek.

rozważmy funkcję: \(f(x)=\cos x-\frac{1}{x}\)

policzmy jej pochodną: \(f'(x)=-\sin x+ \frac{1}{x^2}\)

w podanym przedziale pochodna ta jest nieujemna, czyli \(f\) rośnie.
\(f(1,5 \pi)=0- \frac{2}{3\pi} <0\)
\(f(2 \pi)=1- \frac{1}{2\pi} >0\)
No to "po drodze" musi być miejsce zerowe, a że funkcja rośnie, to tylko jedno.
CBDO