zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji

[alibaba8000]

2.110
zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji
a) f(x)=\(x-3+ \frac{2x-6}{x+2}+ \frac{4x-12}{(x+2)^2}+...\)

[Galen]

\(a_1=x-3\\q= \frac{2}{x+2}\\Suma\\S= \frac{a_1}{1-q}\\S= \frac{x-3}{1- \frac{2}{x+2} } = \frac{(x-3)(x+2)}{(x+2)-2}= \frac{x^2-x-6}{x}\\|q|<1\;\;czyli\;\;| \frac{2}{x+2}|<1\\ \frac{2}{x+2}\ge -1\;\;\;i\;\;\; \frac{2}{x+2}\le 1\\x\in (- \infty ;-4) \cup (-2;+ \infty )\;\;i\;\;x\in (- \infty ;-2) \cup (0;+ \infty )\)
Masz dziedzinę funkcji,czyli przedziały,w których będzie badana funkcja
\(D=(- \infty ;-4) \cup (0;+ \infty )\)
\(f(x)= \frac{x^2-x-6}{x}\)
\(f'(x)= \frac{(2x-1)x-(x^2-x-1)}{x^2}= \frac{x^2+6}{x^2}\)
Jak widać funkcja pochodna jest dodatnia,czyli badana funkcja f(x) jest rosnąca w obu przedziałach dziedziny.
Pochodna f' nie ma miejsc zerowych,zatem brak ekstremów.
\(\Lim_{x\to - \infty } \frac{x^2-x-6}{x}=- \infty\)
\(\Lim_{x\to + \infty }f(x)=+ \infty\)
Asymptot pionowych brak.
Asymptota ukośna:\(y=ax+b\)
\(a= \Lim_{x\to \infty } \frac{f(x)}{x}= \Lim_{x\to \infty} \frac{x^2-x-6}{x^2}=1\\
b= \Lim_{x\to \infty }(f(x)-x)= \Lim_{x\to \infty }( \frac{x^2-x-6}{x}-x)= \Lim_{x\to \infty } \frac{-x-6}{x}=-1\)
Asymptota ukośna ma równanie:
\(y=x-1\)
Wpisz wzór funkcji na Wolfram alpha i zobaczysz wykres.