granica ciągu, silnia i wykładnicza

ivan · Post autor: **ivan** » 19 mar 2010, 22:20

Wykazać, że \(\lim_{x\to \infty }\frac{2^x}{x!}=0\)

BetrR65 · Post autor: **BetrR65** » 21 mar 2010, 09:24

A o co dokładniej chodzi w tym zadaniu?

ivan · Post autor: **ivan** » 21 mar 2010, 12:30

o udowodnienie tej granicy. Zapomniałem dopisać wcześniej zera;) chyba to trzeba zrobić w oparciu o \(\lim_{ n\to \infty } \frac{ a_{n+1}}{ a_{n} }\)

anka · Post autor: **anka** » 21 mar 2010, 18:09

\(\lim_{ x\to \infty } \frac{ \frac{2^{x+1}}{(x+1)!} }{ \frac{2^x}{x!} }=\lim_{ x\to \infty } \frac{2^x \cdot 2}{x!(x+1)} \cdot \frac{x!}{2^x}=\lim_{ x\to \infty } \frac{2}{x+1}=0\)

BetrR65 · Post autor: **BetrR65** » 21 mar 2010, 18:21

anka pisze:\(\lim_{ x\to \infty } \frac{ \frac{2^{x+1}}{(x+1)!} }{ \frac{2^x}{x!} }=\lim_{ x\to \infty } \frac{2^x \cdot 2}{x!(x+1)} \cdot \frac{x!}{2^x}=\lim_{ x\to \infty } \frac{2}{x+1}=0\)

Ale aby ciąg miał granicę, nie wystarczy policzyć granicy ilorazu "kolejnych" wyrazów (jeśli dla liczb rzeczywistych mogą to być kolejne....), bo z tego niewiele wynika.
Dostajemy co najwyżej, że ciag może być zbieżny. Ale nic nie wiemy o granicy funkcji.

anka · Post autor: **anka** » 21 mar 2010, 18:48

Policzyłam tylko to o czym pisał Ivan, zakladam, że wie co dalej z tym zrobić.