Wykaż, że jeżeli dla ciągu \({u_n}\) istnieje granica
\(\Lim_{n\to \infty } | \frac{u_{n+1}}{u_n}|=q<1\)
to \(\Lim_{n\to \infty } u_n=0\)
Wykaż
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Arni123
- Czasem tu bywam
- Posty: 135
- Rejestracja: 06 wrz 2011, 10:39
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 52 razy
- Płeć:
Re: Wykaż
Zauważ, że ciąg \({|u_n|}\) jest od pewnego miejsca malejący. Wynika to stąd, że \(\Lim_{n\to \infty } | \frac{u_{n+1}}{u_n}|=q<1\). Istotnie z definicji granicy mamy, że dla dowolnego \(\varepsilon >0\) istnieje takie N, że dla \(n \ge N\) zachodzi nierówność \(|| \frac{u_{n+1}}{u_n}|-q|< \varepsilon\). Wynika stąd, że dla \(n \ge N\) zachodzi \(| \frac{u_{n+1}}{u_n}|<q+ \varepsilon\). Niech \(\varepsilon\) będzie tak mała, aby \(q+ \varepsilon <1\). Wówczas \(| \frac{u_{n+1}}{u_n}|<1\), więc \(|u_{n+1}|<|u_n|\).
Pokazaliśmy, że ciąg \({|u_n|}\) jest malejący. Jest on ponadto ograniczony z dołu przez \(0\), a w związku z tym ma granicę nieujemną. Załóżmy nie wprost że \(\Lim_{n\to \infty } |u_n|=g >0\). Wówczas także \(\Lim_{n\to \infty } |u_{n+1}|=g\), a stąd \(\Lim_{n\to \infty } |\frac{u_{n+1}}{u_n}|=\Lim_{n\to \infty } \frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=\frac{g}{g}=1 \neq q\) co przeczy założeniu w zadaniu. Uzyskana sprzeczności pokazuje, że \(|u_n| \to 0\), a zatem \(u_n \to 0\).
Pokazaliśmy, że ciąg \({|u_n|}\) jest malejący. Jest on ponadto ograniczony z dołu przez \(0\), a w związku z tym ma granicę nieujemną. Załóżmy nie wprost że \(\Lim_{n\to \infty } |u_n|=g >0\). Wówczas także \(\Lim_{n\to \infty } |u_{n+1}|=g\), a stąd \(\Lim_{n\to \infty } |\frac{u_{n+1}}{u_n}|=\Lim_{n\to \infty } \frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=\frac{g}{g}=1 \neq q\) co przeczy założeniu w zadaniu. Uzyskana sprzeczności pokazuje, że \(|u_n| \to 0\), a zatem \(u_n \to 0\).
-
radagast
- Guru
- Posty: 17552
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7436 razy
- Płeć:
Re:
Jak najbardziej ale tylko :\(q<1\) to \(a_n\to 0\). Suma wyrazów ciągu geometrycznego - nie, tylko sam ciąg.Artegor pisze:Czy to zadanie wpływa na ogólne rozumowanie nieskończonego ciągu geometrycznego?
Jeżeli \(|q|<1\), to ciąg \(S(n)\) ma granicę
-
eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
