W ciele liczb zespolonych C rozwiąż równanie

[gollum]

\((z^2-(3+5i)z - 4 +3i)(z^3-27)=0\)
Prosiłabym o rozwiązanie tego równania krok po kroku próbowałam jakoś to rozebrać ale nie wychodzi mi za bardzo..

[panb]

Zróbmy tak. Równanie \(z^3=27\) - ty, to drugie ja, ok?

[panb]

\(z^2-(3+5i)z-4+3i=0\\ \Delta=b^2-4ac=(3+5i)^2-4(-4+3i)=9+30i-25+16-12i=18i\\ \sqrt{ \Delta }=3 \sqrt{2i};\,\,\, \sqrt{2i}= \pm (1+i), \text{ bo } (1+i)^2=1+2i-1=2i \So \sqrt{\Delta}=3+3i\\ z_1= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{3+5i-3-3i}{2}=i,\quad z_2= \frac{3+5i+3+3i}{2}=3+4i\)

[gollum]

Zróbmy tak. Równanie \(z^3=27\) - ty, to drugie ja, ok?

\(z_3=3\)

dziękuję

[panb]

No, co ty.
Równanie \(z^3=27\) ma w ciele liczb zespolonych trzy rozwiązania.

[gollum]

czy to teraz jest dobrze?
\(z_3=3;\)
\(z_4= \frac{-3- \sqrt{27i} }{2}\)
\(z_5= \frac{-3+ \sqrt{27i} }{2}\)

[gollum]

\(\sqrt{2i}= \pm (1+i), \text{ bo } (1+i)^2=1+2i-1=2i \So \sqrt{\Delta}=3+3i\\\)

nie rozumiem za bardzo tego A jak by było \(\sqrt{3i}\)? mógłbyś mi przestawić tą zależność?

[gollum]

bo wiem że podstawiając \(x+iy= \sqrt{2i}\) otrzymamy \(\pm ( x=1)\) a \(\pm (y= \sqrt{-1} =i)\) ale nie wiem dlaczego dalej jest to 1+i do kwadratu i dlaczego później jest 3 + 3i

[panb]

Po kolei (ale od końca). Skoro \(\sqrt{ \Delta } =3\sqrt{2i}\), a \(\sqrt{2i}=1+i\), to chyba rozumiesz skąd się bierze 3+3i.

Teraz sprawa \(\sqrt{2i}\). Pierwiastkiem kwadratowym liczby zespolonej \(z\) jest taka liczba\(\sqrt{z}\), że \(\left(\sqrt{z} \right)^2=z\). Skoro \((1+i)^2=2i\), to z definicji pierwiastka wynika, że \(\sqrt{2i}=1+i\).
Pytanie skąd wpadłem na taka liczbę - z wzorów skróconego mnożenia.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Gdybym miał policzyć \(\sqrt{3i}\), to musiał bym wykombinować taką liczbę \(z\), żeby \(z^2=3i\).
Tutaj jest trudniej. Nie umiem tak w pamięci.
Jest na to metoda. \(z=x+iy \So (x+iy)^2=3i \So x^2-y^2+2ixy=3i \So \begin{cases}x^2-y^2=0\\2xy=3 \end{cases},\,\,\, x,y \in \rr\).
Tu już są liczby rzeczywiste, więc po prostu rozwiązuje się układ równań. Wychodzi \(z= \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{2} }(1+i) \vee z=- \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{2} }(1-i)\)

Jakby się dobrze przyjrzeć, to można by na to wpaść bez liczenia.

[panb]

czy to teraz jest dobrze?
\(z_3=3;\)
\(z_4= \frac{-3- \sqrt{27i} }{2}\)
\(z_5= \frac{-3+ \sqrt{27i} }{2}\)

Teraz jest OK (ciekawe jak to policzyłeś?).
Acha, zamiast \(\sqrt{27}\) możesz użyć 3. Wiem, że teraz to już ci się wszystko chromoli, ale \(\sqrt{4}=2\) tak jak zawsze bywało.

[gollum]

czy to teraz jest dobrze?
\(z_3=3;\)
\(z_4= \frac{-3- \sqrt{27i} }{2}\)
\(z_5= \frac{-3+ \sqrt{27i} }{2}\)

Teraz jest OK (ciekawe jak to policzyłeś?).
Acha, zamiast \(\sqrt{27}\) możesz użyć 3. Wiem, że teraz to już ci się wszystko chromoli, ale \(\sqrt{4}=2\) tak jak zawsze bywało.

rozłożyłem to na \((z-3)(z^2+3z+9)=0\)
zrobiłem delte pod pierwiastkiem i wyszło pierwiastek -27 uzywając jednostki urojonej i= pierwiastek (-1) mamy że \(\sqrt{ \Delta } = \sqrt{-27i}\) czyli \(z_4= \frac{-3- 3\sqrt{3i} }{2}\)
\(z_5= \frac{-3+ 3\sqrt{3i} }{2}\) czy to na pewno jest dobrze?

[gollum]

w wolframie wychodzi \(z_4= -\frac{3}{2}i ( \sqrt{3} - i)\) i \(z_5= \frac{3}{2}i ( \sqrt{3} + i)\) a to chyba nie jest to samo, czy jest ?

[radagast]

To samo (wystarczy \(\frac{3}{2} i\) wyłączyć przed nawias )

[gollum]

\(\sqrt{2i}=1+i\), to chyba rozumiesz skąd się bierze 3+3i.

dlaczego jesli \(\sqrt{2i}= \pm (1+i)\) to rozpatrujemy tylko (1+i) a nie (1-i)? czy nie powinniśmy rozpatrzeć dla plusa i minusa? i wtedy \(\sqrt{2i} = 3-3i\)

[gollum]

\(\sqrt{2i}=1+i\), to chyba rozumiesz skąd się bierze 3+3i.

dlaczego jesli \(\sqrt{2i}= \pm (1+i)\) to rozpatrujemy tylko (1+i) a nie (1-i)? czy nie powinniśmy rozpatrzeć dla plusa i minusa? i wtedy \(\sqrt{2i} = 3-3i\)

obliczyłam i już wiem że to są po prostu te same liczby, w sensie powtarzają się