Udowodnij że...
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
wieczorek91
- Rozkręcam się
- Posty: 53
- Rejestracja: 23 sty 2010, 15:23
Udowodnij że...
Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n, liczba \(10^x+4^n-2\) jest podzielna przez 3
Zadanie to mozna zapisać, ze dla każdej liczby naturalnej n istnieje takie p całkwite, ze \(10^n+4^n-2=3p\)
Ponieważ jest tutaj napisane, że wyrażenie to jest prawdziwe dla kazdej liczby naturalnej, więc warto skorzystać z indukcji matematycznej.
Czyli.
1. sprawdzic prawdziwośś równości dla n=1 9jest prawdziwa dla p=4
2.
a.Założyć prawdzowość równości dla n=k, czyli
\(10^k+4^k-2=3p\)
b.Udowodnić prawdziwośc równości dla liczby następnej, czyli n=k+1, czyli
\(10^{k+1}+4^{k+1}-2=3s\) i pokazać, że s jest liczbą całkowitą.
Dowód:
L=\(10^{k+1}+4^{k+1}-2=10*10^k+4*4^k-2\)
Z założenia można obliczyć \(10^k=3p-4^k+2\) i podstawić w udowadnianej tezie. Wtedy mamy
\(10*(3p-4^k+2)+4*4^k-2=30p+6*4^k+18=3*(10p+2*4^k+6)\)
A to wyrażenie bedzie równe stronie prawej, czyli 3s dla \(s=10p+2*4^k+6\)
Ponieważ p i k są liczbami odpowiednio całkowitymi i naturalnymi, więc s jest także liczbą całowitą.
3. Odp.
Sprawdzilismy prawdziwośc równości dla n=1.
Przy założeniu, ze jest równośc jest prawdziwa dla każdej liczby k udowodniliśmy, że jest ona prawdziwa dla liczby następnej, czyli k+1.
Wobec dowolności liczby k równosć ta jest zawsze prawdziwa, czyli liczba podstaci \(10^k+4^k-2\) jest podzielna przez 3.
Ponieważ jest tutaj napisane, że wyrażenie to jest prawdziwe dla kazdej liczby naturalnej, więc warto skorzystać z indukcji matematycznej.
Czyli.
1. sprawdzic prawdziwośś równości dla n=1 9jest prawdziwa dla p=4
2.
a.Założyć prawdzowość równości dla n=k, czyli
\(10^k+4^k-2=3p\)
b.Udowodnić prawdziwośc równości dla liczby następnej, czyli n=k+1, czyli
\(10^{k+1}+4^{k+1}-2=3s\) i pokazać, że s jest liczbą całkowitą.
Dowód:
L=\(10^{k+1}+4^{k+1}-2=10*10^k+4*4^k-2\)
Z założenia można obliczyć \(10^k=3p-4^k+2\) i podstawić w udowadnianej tezie. Wtedy mamy
\(10*(3p-4^k+2)+4*4^k-2=30p+6*4^k+18=3*(10p+2*4^k+6)\)
A to wyrażenie bedzie równe stronie prawej, czyli 3s dla \(s=10p+2*4^k+6\)
Ponieważ p i k są liczbami odpowiednio całkowitymi i naturalnymi, więc s jest także liczbą całowitą.
3. Odp.
Sprawdzilismy prawdziwośc równości dla n=1.
Przy założeniu, ze jest równośc jest prawdziwa dla każdej liczby k udowodniliśmy, że jest ona prawdziwa dla liczby następnej, czyli k+1.
Wobec dowolności liczby k równosć ta jest zawsze prawdziwa, czyli liczba podstaci \(10^k+4^k-2\) jest podzielna przez 3.
Można przeprowadzić dowód indukcyjny:
Jeśli n=0, to \(10^0+4^0-2=0\), liczba dzieli się przez 3.
Jeśli n=1, to:
\(1^1+4^1-2=3\) liczba dzieli się przez 3.
Załóżmy, że dla \(k \in N_+\) liczba \(10^k+4^k-2=3p,\ gdzie\ p \in N_+\).
Twierdzimy, że liczba \(10^{k+1}+4^{k+1}-2=3t,\ gdzie\ t \in N_+\)
Dowód:
\(10^{k+1}+4^{k+1}-2=10\cdot10^k+4\cdot4^k-2=4\cdot10^k+4\cdot4^k-8+6\cdot10^k+6=4(10^k+4^k-2)+6(10^k+2)=\\=4\cdot3p+2\cdot3r,\ gdzie\ r \in N_+\\t=4p+2r \Rightarrow t \in N_+\ \wedge \ 10^{k+1}+4^{k+1}-2=3t\)
Czyli pokazaliśmy, że dla każdej liczby naturalnej liczba w zadaniu dzieli się przez 3.
Jeśli n=0, to \(10^0+4^0-2=0\), liczba dzieli się przez 3.
Jeśli n=1, to:
\(1^1+4^1-2=3\) liczba dzieli się przez 3.
Załóżmy, że dla \(k \in N_+\) liczba \(10^k+4^k-2=3p,\ gdzie\ p \in N_+\).
Twierdzimy, że liczba \(10^{k+1}+4^{k+1}-2=3t,\ gdzie\ t \in N_+\)
Dowód:
\(10^{k+1}+4^{k+1}-2=10\cdot10^k+4\cdot4^k-2=4\cdot10^k+4\cdot4^k-8+6\cdot10^k+6=4(10^k+4^k-2)+6(10^k+2)=\\=4\cdot3p+2\cdot3r,\ gdzie\ r \in N_+\\t=4p+2r \Rightarrow t \in N_+\ \wedge \ 10^{k+1}+4^{k+1}-2=3t\)
Czyli pokazaliśmy, że dla każdej liczby naturalnej liczba w zadaniu dzieli się przez 3.