Witam
Polecenie to wykazać za pomocą indukcji matematycznej:
(mi albo wychodzą 3cie potęgi, co strasznie komplikuje, albo liczby kosmicznie wielkie, dlatego jestem zmuszony poprosić o pomoc
\(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} ( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} )\)
Dzięki za wszelkie rozwiązania oraz za próby pomocy
<bezradny>Indukcja matematyczna</bezradny>
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: <bezradny>Indukcja matematyczna</bezradny>
dla \(n=1\)Shalassin pisze: \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} ( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} )\)
\(\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1}{2} ( \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3} ) \iff \frac{1}{6}= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}- \frac{1}{6} \right) \iff \frac{1}{6} = \frac{1}{6}\) ok
zał ind :
istnieje n: \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} ( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} )\)
teza:
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+2)(n+3)}\right)\)
Dowód
\(\displaystyle L= \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} =\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}+ \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}=\\
\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) + \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\\
= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} + \frac{2}{(n+1)(n+2)(n+3)} \right) =\\
\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{n+3}{(n+1)(n+2)(n+3)} + \frac{2}{(n+1)(n+2)(n+3)} \right)=\\
\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{n+1}{(n+1)(n+2)(n+3)} \right)\\
\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+2)(n+3)} \right) =P\)
CBDO