Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego

[Klasyczny]

1. Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego za pomocą kryterium ilorazowego:
\(\sum_{n=1}^{ \infty }\)\(\frac{100^n}{n!}\)

2. Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego za pomocą kryterium pierwiastkowego:
\(\sum_{n=1}^{ \infty }\)\(\frac{n^2*7^n}{10^n}\)


3. Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego za pomocą kryterium całkowego:
a) \(\sum_{n=1}^{ \infty }\) \(\frac{ln n}{n^2}\)
b) \(\sum_{n=1}^{ \infty }\) \(\frac{ln n}{n \sqrt{n} }\)

[lambda]

1.
\(\sum_{n=1}^{ \infty }\)\(\frac{100^n}{n!}\)

\(\Lim_{n\to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n}= \Lim_{n\to \infty } \frac{100^{n+1}}{(n+1)!}: \frac{100^n}{n!} = \Lim_{n\to \infty } \frac{100^n \cdot 100}{n!(n+1)} \cdot \frac{n!}{100^n} = \Lim_{n\to \infty } \frac{100}{n+1}=0<1\)
Szereg jest zbieżny.

[lambda]

2.
\(\sum_{n=1}^{ \infty }\)\(\frac{n^2*7^n}{10^n}\)

\(\Lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{ \frac{n^2 \cdot 7^n}{10^n} }= \Lim_{n\to \infty} \frac{7}{10} \sqrt[n]{n^2} = \frac{7}{10} \cdot 1= \frac{7}{10} < 1\)
Szereg jest zbieżny.

[Klasyczny]

Bardzo proszę o rozwiązanie 3 zadania.

[panb]

3a) A w czym problem?
\(\int_{1}^{ \infty } \frac{\ln x}{x^2}dx\) trzeba policzyć. Wychodzi 1, więc szereg jest zbieżny.

b) \(\int_{1}^{ \infty } \frac{\ln x}{x\sqrt x} dx =4\), więc też jest zbieżny.

Jeśli masz problem z policzeniem całki, to jedną z nich mogę policzyć - wybierz którą.
Nie zapomnij wspomnieć, o tym w jakim przedziale można to kryterium stosować.