szeregi, całki

[Jazzmatazz]

Witam szanownych matematyków. Mam pytania co do kilku zadań :

1.Oblicz pole obszaru ograniczonego liniami \(y=\frac{1}{x^{2}}, y=4, x \ge 0, y \ge 0\)
Narysowałem to i wyszło mi, że x po prawej strony nie jest w żaden sposób ograniczony
\(( 0 \le y \le 4, \ \ 0 \le x \le \infty )\), oznacza to, że mam liczyć normalnie całkę podwójną i na końcu całkę nieoznaczoną ?

2. Oblicz całkę podwójną \(\int_{}^{} \int_{}^{} xy\ dxdy\) po obszarze \(1 \le x^2 + y^2 \le 9 x \le 0, \ x \le 0\) .
Rozumiem , że to pole to jest taki pierścień, \(r_{1}=1\ \ r_{2}=3\)i należy obliczyć pole większego i odjąć mniejszy ?
Jeżeli \(x \le 0\) to \(\phi\) bd od \((\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})\) ?

[radagast]

Witam szanownych matematyków. Mam pytania co do kilku zadań :

1.Oblicz pole obszaru ograniczonego liniami \(y=1/x^2, y=4, x \ge 0, y \ge 0\)
Narysowałem to i wyszło mi, że x po prawej strony nie jest w żaden sposób ograniczony
( 0 \le y4, 0 \le x \le nieskończoność ), oznacza to, że mam liczyć normalnie całkę podwójną i na końcu całkę nieoznaczoną ?

ScreenHunter_1446.jpg (22.61 KiB) Przejrzano 1266 razy

\(\displaystyle P=4 \cdot \frac{1}{2}+ \int_{ \frac{1}{2} }^{4} \frac{dx}{x^2} =2- \left[ \frac{1}{x} \right]_{ \frac{1}{2} }^{4}=2- \frac{1}{4}+2=3,75\)

[Jazzmatazz]

Przepraszam za zapis zadań, chciałbym go zedytować, ale nie mogę znaleźć przycisku edycji.
Nadal nie rozumiem, skąd wzięła się górna granica tej całki 4.

Czy mimo fatalnego zapisu mogę liczyć na pomoc z drugim zadaniem ?

[panb]

Nie wiem czemu @radagast liczy całkę do x=4?
Powinno być tak jak sugerowałeś z tym, że trzeba to rozbić na dwa "kawałki"
\(\int_{0}^{ \frac{1}{2} }4dx+ \int_{1/2}^{ \infty } \frac{dx}{x^2}=2+2=4\)

ad2 Pozwolisz, że zapiszę to jeszcze raz, bo namieszałeś deczko
Mamy obliczyć \(\iint_D xy \mbox{d}x \mbox{d}y\), gdzie \(D= \left\{ (x,y): 1\le x^2+y^2 \le 9,\,\,\, x\le0,\,\,\, y\le0\right\}\)
Wspominasz coś o kącie, więc rozumiem, że chcesz wprowadzić współrzędne biegunowe. Dobry pomysł, ale żadne pierścienie - to nie tego pole masz liczyć. Obszar teraz jest taki: \(D= \left\{ (r,\varphi): 1\le r \le 3,\,\, \frac{\pi}{2} \le \varphi \le \frac{3}{2}\pi\right\}\)
\(\iint_D xy \mbox{d}x \mbox{d}y= \int_{ \frac{\pi}{2} }^{ \frac{3\pi}{2} }\mbox{d}\varphi \int_{1}^{3}r^2\sin\varphi\cos\varphi \cdot r\mbox{d}r= \left( \int_{ \frac{\pi}{2} }^{ \frac{3\pi}{2} }\sin\varphi \cos\varphi\mbox{d}\varphi\right) \cdot \left(\int_{1}^{3}r^3\mbox{d}r \right)=19,5\)

Co ty na to?

[radagast]

No pewnie, że tak, chyba byłam zmęczona.
Powinno być:
\(\displaystyle P=4 \cdot \frac{1}{2}+ \int_{ \frac{1}{2} }^{ \infty } \frac{dx}{x^2} =2- \left[ \frac{1}{x} \right]_{ \frac{1}{2} }^{ \infty }=2- \left( \Lim_{x\to \infty } \frac{1}{x} - \frac{1}{ \frac{1}{2}} \right) =2-(0-2)=4\)