Równania różniczkowe + warunek początkowy.

[liczbapi]

Witam,
proszę o pomoc z tymi równaniami:


1. (1 + \(y^{2}\))\(y^{,,}\)=2y\(y^{,}\)(1 + \(y^{,}\))
warunek y(-1) = -1 oraz \(y^{,}\)(-1 )= 1

2. 1 + \(y^{3}\)\(y^{,,}\)=0
warunek Y(2) = -1 \(y^{,}\)(2 )= 1

Dziękuję i pozdrawiam
3,14......

[panb]

ad 1
Podstawiamy \(y'=u(y) \So y''= \frac{du}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}=u' \cdot y'=u' \cdot u\) i równanie przyjmuje postać
\((1+y^2)u'u=2yu(1+u) \iff u\left[ (1+y^2)u'-2y(1+u)\right]=0 \So u=0 \vee (1+y^2)u'-2y(1+u)=0\)
Zostawmy na razie przypadek \(u=0\) i zajmijmy się drugim przypadkiem
\((1+y^2)u'-2y(1+u)=0 \iff \frac{u'}{1+u} = \frac{2y}{1+y^2} \iff \int \frac{du}{1+u}=\int \frac{2ydy}{1+y^2} \So \ln (1+u)=\ln(c(1+y^2))\)
Stad \(u=c(1+y^2)-1\), czyli \(y'=c(1+y^2)-1 \iff \frac{y'}{c(1+y^2)-1}=1 \iff \int \frac{dy}{c(1+y^2)-1}=\int dx\)
Policzmy całkę z lewej strony

• \(\int \frac{dy}{c(1+y^2)-1}=\int \frac{dy}{cy^2+(c-1)}= \frac{1}{c-1}\int \frac{dy}{ \left( \frac{y\sqrt c}{\sqrt{c-1}} \right) ^2+1}= \frac{1}{c-1}\sqrt{ \frac{c-1}{c} }\arctg \left( \frac{y\sqrt c}{\sqrt{c-1}} \right)= \frac{1}{\sqrt c\sqrt{c-1}}\arctg \left( \frac{y\sqrt c}{\sqrt{c-1}} \right)\)

Wracamy do równania.
Mamy \(\frac{1}{\sqrt c\sqrt{c-1}}\arctg \left( \frac{y\sqrt c}{\sqrt{c-1}} \right)=x+a \So y=\sqrt{ \frac{c-1}{c} }\tg \left( x\sqrt{c(c-1)}+a\sqrt{c(c-1)}\right)\)

Uwzględniamy warunki początkowe: \(y'(-1)=1 \iff c(1+(y(-1))^2)-1=1 \iff c(1+1)-1=1 \iff c=1\)
oraz \(y(-1)=-1 \iff \sqrt{ \frac{c-1}{c} }\tg \left( -\sqrt{c(c-1)}+a\sqrt{c(c-1)}\right)=-1 \iff0=-1\)

No i klops. Drugi przypadek \(u=0 \iff y'=0\) też nie spełnia warunku początkowego.

Całka jest policzona dobrze. Możliwe, że warunki początkowe są niepoprawnie zadane.

[panb]

Gdyby warunki początkowe miały postać \(y(-1)=-1,\,\, y'(-1)=0\), to rozwiązanie by istniało, a mianowicie \(y=-1\).

Zniechęcony, nie zabieram się już za kolejne zadanie.

[liczbapi]

Witam,
dziękuję za pomoc.
Zadanie pochodzi z książki
"Matematyka 2 dla studentów studiów technicznych" K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow.

odpowiedź, to:

\(y= \frac{-1}{x + 2}\).

Tylko jak liczyłem, to dostawałem podobne wyniki co kolega (inaczej kombinowałem z c).

"Motyla noga"

Pozdrawiam
3,14......

[panb]

ad 1
Podstawiamy \(y'=u(y) \So y''= \frac{du}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}=u' \cdot y'=u' \cdot u\) i równanie przyjmuje postać
\((1+y^2)u'u=2yu(1+u) \iff u\left[ (1+y^2)u'-2y(1+u)\right]=0 \So u=0 \vee (1+y^2)u'-2y(1+u)=0\)
Zostawmy na razie przypadek \(u=0\) i zajmijmy się drugim przypadkiem
\((1+y^2)u'-2y(1+u)=0 \iff \frac{u'}{1+u} = \frac{2y}{1+y^2} \iff \int \frac{du}{1+u}=\int \frac{2ydy}{1+y^2} \So \ln (1+u)=\ln(c(1+y^2))\)
Stad \(u=c(1+y^2)-1\), czyli \(y'=c(1+y^2)-1\)

Jeśli w tym miejscu uwzględnimy warunki początkowe, to otrzymamy
\(y(-1)=-1 \wedge y'(-1)=1 \So y'=c(1+y^2)-1 \iff -1=c(1+1)-1 \iff c=1\), więc \(y'=y^2\)

Taki układ warunków początkowych eliminuje poprzednio uzyskane rozwiązanie, które dla c=1 traci sens.
Zatem
\(y'=y^2 \iff \frac{dy}{y^2}=dx \So - \frac{1}{y}=x+C \iff y=- \frac{1}{x+C}\)
Po zastosowaniu warunku \(y(-1)=-1\) otrzymujemy C=2 i wynik taki jak podajesz: \(y=- \frac{1}{x+2}\)

[panb]

ad 2
\(y'=u(y) \So y''= \frac{du}{dx}= \frac{du}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}=u' \cdot u\) i równanie przyjmuje postać
\(y^3u'u+1=0 \iff udu=- \frac{dy}{y^3} \So u^2= \frac{2}{y^2}+ \frac{C}{2} \So u=y'= \pm \sqrt{ \frac{2}{y^2} +C}\)
Nauczony doświadczeniem już teraz zastosuję warunki poczatkowe:
\(y'(2)=1= \sqrt{ \frac{2}{y^2(2)}+C } \iff \sqrt{2+C=1} \iff C=-1\)
Wobec tego mamy \(y'=\sqrt{\frac{2}{y^2}-1} \iff \frac{ydy}{\sqrt{2-y^2}}=dx \So y=\pm \sqrt{2-(x+c)^2}\)
Ponieważ y(2)=-1, więc \(\sqrt{2-(2+c)^2}=1 \So c=-1 \vee c=-3\). Otrzymujemy dwie możliwości
\(y=-\sqrt{2-(x-1)^2} \vee y=-\sqrt{2-(x-3)^2}\). Po obliczeniu pochodnej każdej z tych funkcji okazuje się, że warunek y'(2)=1 spełnia tylko funkcja \(y=-\sqrt{2-(x-1)^2}\)

[liczbapi]

Witam,
dziękuję bardzo. Martwi mnie tylko dlaczego warunki początkowe tak wcześnie, ale wynik OK.
Pozdrawiam
3,14.....

[panb]

Jest do tego dobre wyjaśnienie.
Otóż, w każdym z tych przykładów wartość stałej c spełniającej warunki nałożone na y', nie należy do dziedziny wyrażenia określającego funkcjię y.
Np.

• w zadaniu a) c=1 nie może być użyte w wyrażeniu \(\frac{1}{\sqrt c \sqrt{c-1}}\arctg \left( \frac{y\sqrt c }{\sqrt{c-1}} \right)\),
  w podpunkcie b) wartość stałej c spełniającej warunek na pochodną to c=0, ale nie można tego użyć w otrzymanym dalej wzorze na y: \(\,\,\,y= -\frac{\sqrt{2Cc^2x+Cc^2+2cx^2-2}}{\sqrt c}\)

.

Tak to mniej więcej wygląda - też się nie spotkałem z takim przypadkiem, ale całe życie człowiek się uczy, no nie?

Podziwiam dociekliwość i pozdrawiam
Panb