nie używając kalkulatora i tablic matematycznych oblicz

[alibaba8000]

2/3
nie używając kalkulatora i tablic matematycznych oblicz :
a)\(sin^275-cos^275+8sin54sin72\)
b)\(\frac{sin19sin7+sin71cos367}{2sin282}\)
c)\(log_ \frac{1}{2}ctg10+log_ \frac{1}{2}ctg20+...+log_ \frac{1}{2}ctg70+log_ \frac{1}{2}ctg80\)

[kuba [6]]

c)
Mamy:
\(log_{ \frac{1}{2}}ctg10^ \circ + log_{ \frac{1}{2}}ctg20^ \circ+...+log_{ \frac{1}{2}}ctg80^ \circ = \\ =
(log_{ \frac{1}{2}}ctg10^ \circ+log_{ \frac{1}{2}}ctg80^ \circ)+...+(log_{ \frac{1}{2}}ctg40^ \circ+log_{ \frac{1}{2}}ctg50^ \circ)= \\ =

log_{ \frac{1}{2}}(ctg10^ \circ \cdot ctg80^ \circ )+...+log_{ \frac{1}{2}}(ctg40^ \circ \cdot ctg50^ \circ )=
4 \cdot log_{ \frac{1}{2}}1=0\).
Po kolei: grupujemy odpowiednio parami, korzystamy z tego, że \(log_{a}b+log_{a}c=log_{a}(bc)\) oraz
\(ctgx \cdot ctg(90^ \circ -x)= \frac{cosx}{sinx} \cdot \frac{cos(90^ \circ -x)}{sin(90^ \circ -x)}= \frac{cosx}{sinx} \cdot \frac{sinx}{cosx} =1\).

[kuba [6]]

b)
Łatwo zauważyć, że:
\(sin19^ \circ =cos71^ \circ\), \(cos367^ \circ =cos7^ \circ\), \(sin282^ \circ =-sin78^ \circ\) .
Zatem:
\(\frac{sin19^ \circ sin7^ \circ +sin71^ \circ cos367^ \circ }{2sin282^ \circ }= \frac{cos71^ \circ sin7^ \circ +sin71^ \circ cos7^ \circ }{2sin282^ \circ } = \frac{sin78^ \circ }{2sin282^ \circ }= - \frac{sin78^ \circ }{2sin78^ \circ }=- \frac{1}{2}\).