równanie trzeciego stopnia z parametrem m

[kasia96175]

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie \(x^3 -3x+2=m\) ma dwa pierwiastki ujemne i jeden dodatni.

[eresh]

Rysujemy wykres funkcji \(f(x)=x^3-3x+2\)

\(D=\mathbb{R}\\
f(0)=2\\
f(x)=0\;\iff\;(x-1)(x^2+x-2)=0\;\iff\;(x-1)(x-1)(x+2)=0\;\;\iff\;\;x\in \{-2,1\}\)
\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\\
f'(x)>0\;\;\iff\;\;x\in (-\infty, -1)\cup (1,\infty)\\
f'(x)<0\;\iff\;x\in (-1,1)\\
f_{max}=f(-1)=-2\\
f_{min}=f(1)=0\)

Bez tytułu.png (12.44 KiB) Przejrzano 1919 razy

teraz można odczytać, że równanie \(f(x)=m\) ma dwa ujemne i jeden dodatni pierwiastek gdy \(m\in (2,4)\)