Parametr

[kate84]

Dla jakich wartości parametru m rzeczywistego, zbiór rozwiązań nierówności
\((m-1) x^{2} +(m+2)x+m-1 \leq 0\)zawiera się w zbiorze rozwiązań nierówności\(\frac{1-2x}{ x^{2} +1} \geq 1\)?

[radagast]

Dla jakich wartości parametru m rzeczywistego, zbiór rozwiązań nierówności
\((m-1) x^{2} +(m+2)x+m-1 \leq 0\)zawiera się w zbiorze rozwiązań nierówności\(\frac{1-2x}{ x^{2} +1} \geq 1\)?

Zbiór rozwiązań tej nierówności to \(\left\langle-2,0 \right\rangle\).
Musi więc być tak:
\(\begin{cases} \Delta >0\\m-1<0\ \ (parabola\ musi\ miec\ galazki\ w\ dol)\\f(-2)<0\\f(0)<0 \\ -2<-\frac{m+2}{2(m-1)}<0 \ \ \ (wierzcholek\ paraboli\ musi \ byc\ miedzy\ pierwiastkami)\end{cases}\)
przy czym \(f(x)=(m-1) x^{2} +(m+2)x+m-1\),a \(\Delta\) jest wyróżnikiem funkcji \(f\).
Dalej to już tylko rachunki. Zachęcam do ich samodzielnego wykonania

[tylkojedynka]

Dla jakich wartości parametru m rzeczywistego, zbiór rozwiązań nierówności
\((m-1) x^{2} +(m+2)x+m-1 \leq 0\)zawiera się w zbiorze rozwiązań nierówności\(\frac{1-2x}{ x^{2} +1} \geq 1\)?

Zbiór rozwiązań tej nierówności to \(\left\langle-2,0 \right\rangle\).
Musi więc być tak:
\(\begin{cases} \Delta >0\\m-1<0\ \ (parabola\ musi\ miec\ galazki\ w\ dol)\\f(-2)<0\\f(0)<0 \\ -2<-\frac{m+2}{2(m-1)}<0 \ \ \ (wierzcholek\ paraboli\ musi \ byc\ miedzy\ pierwiastkami)\end{cases}\)
przy czym \(f(x)=(m-1) x^{2} +(m+2)x+m-1\),a \(\Delta\) jest wyróżnikiem funkcji \(f\).
Dalej to już tylko rachunki. Zachęcam do ich samodzielnego wykonania

lPrzyjąć należy,że parabola ma ramiona zwrócone do góry i funkcja kwadratowa przyjmuje wartości ujemne
w przedziale zawierającym się w zbiorze: \(\left\langle-2,0 \right\rangle\)
więc:
\(\begin{cases} \Delta >0\\m-1>0\ \ (parabola\ musi\ miec\ ramiona\ w\ górę)\\f(-2) \ge 0\\f(0) \ge 0 \\ -2<-\frac{m+2}{2(m-1)}<0 \ \ \ (wierzcholek\ paraboli\ musi \ byc\ miedzy\ pierwiastkami)\end{cases}\)

A gdy parabola na ramiona w górę i funkcja nie ma miejsc zerowych to zbiór rozwiązań jest zbiorem pustym ..ale pewnie nie o to chodzi

[radagast]

No pewnie , to była niedoróbka. Powinno być:

Musi więc być tak:

\(\begin{cases} \Delta >0\\m-1>0\ \ (parabola\ musi\ miec\ galazki\ w\ gore)\\f(-2)>0\\f(0)>0 \\ -2<-\frac{m+2}{2(m-1)}<0 \ \ \ (wierzcholek\ paraboli\ musi \ byc\ miedzy\ pierwiastkami)\end{cases}\)

lub:
\(\begin{cases} \Delta <0\\m \neq 1\end{cases}\)

lub:
\(m=1\)