Trzy różne pierwiastki wielomianu \(W(x)=x^3+ax^2+bx-192\) tworzą ciąg arytmetyczny.
a) Oblicz wartości iloczynu pierwiastków wielomianu W(x).
b) Wyznacz pierwiastki wielomianu W(x), wiedząc, że ich suma jest równa 18.
c) Uzasadnij,że dla każdej liczby parzystej wielomian W(x) przyjmuje wartości podzielne przez 16 i przez 24.
Wielomian i ciąg arytmetyczny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1608
- Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
- Podziękowania: 1680 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
a)
oznaczmy te pierwiastki: \(x_0,x_0+r,x_0+2r\)
podany wielomian w postaci iloczynowej to: \(\left(x-x_0 \right)\left(x-(x_0+r) \right)\left(x-(x_0+2r) \right)\)
jego wyraz wolny to\(-x_0 \cdot \left( -\left(x_0+r \right)\right) \cdot \left( -\left(x_0+2r \right)\right)=-x_0 \cdot \left(x_0+r \right)\cdot\left(x_0+2r \right)=-192\)
stąd iloczyn pierwiastków \(x_0 \cdot \left(x_0+r \right)\cdot\left(x_0+2r \right)=192\)
oznaczmy te pierwiastki: \(x_0,x_0+r,x_0+2r\)
podany wielomian w postaci iloczynowej to: \(\left(x-x_0 \right)\left(x-(x_0+r) \right)\left(x-(x_0+2r) \right)\)
jego wyraz wolny to\(-x_0 \cdot \left( -\left(x_0+r \right)\right) \cdot \left( -\left(x_0+2r \right)\right)=-x_0 \cdot \left(x_0+r \right)\cdot\left(x_0+2r \right)=-192\)
stąd iloczyn pierwiastków \(x_0 \cdot \left(x_0+r \right)\cdot\left(x_0+2r \right)=192\)
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
c)
wiemy juz o tym wielomianie , że to jest \((x-4)(x-6)(x-8)\)
no to jeśli x=2k
\((2k-4)(2k-6)(2k-8)=8(k-2)(k-3)(k-4)\)
liczby \((k-2)(k-3)(k-4)\) to kolejne liczby całkowite. Jedna z nich musi dzielić się przez 3 i jedna musi dzielić się przez 2
zatem iloczyn \(8(k-2)(k-3)(k-4)\) można zapisać jako \(8 \cdot 3 \cdot m\) oraz jako \(8 \cdot 2 \cdot n\)
cbdo.
wiemy juz o tym wielomianie , że to jest \((x-4)(x-6)(x-8)\)
no to jeśli x=2k
\((2k-4)(2k-6)(2k-8)=8(k-2)(k-3)(k-4)\)
liczby \((k-2)(k-3)(k-4)\) to kolejne liczby całkowite. Jedna z nich musi dzielić się przez 3 i jedna musi dzielić się przez 2
zatem iloczyn \(8(k-2)(k-3)(k-4)\) można zapisać jako \(8 \cdot 3 \cdot m\) oraz jako \(8 \cdot 2 \cdot n\)
cbdo.
-
- Fachowiec
- Posty: 1608
- Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
- Podziękowania: 1680 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
Re: Wielomian i ciąg arytmetyczny
Tak powinien być plus ale to przeoczenie bo liczenie jest tak jakby było plus.
-
- Witam na forum
- Posty: 9
- Rejestracja: 12 kwie 2019, 20:45
Hej, nie wiem jak wywnioskować z treści zadania, że pierwiastki wielomianu należą do liczb całkowitych. Twierdzenie które zostaje użyte w podp. a) dotyczy liczb całkowitych w wielomianie (myślę o "a,b") oraz pierwiastków w(x)... Przynajmniej tak jest w moich tablicach jeżeli się mylę to przepraszam za błąd i proszę o wytłumaczenie.