Witam
Mam taką funkcję:
\(f(x)=sin^4x + cos^4x\).. Należy wyznaczyć zbiór wartości tej funkcji..
Doszedłem do postaci \(f(x)=-2(sinxcosx)^2 + 1\)
Nie wiem co tu trzeba dalej zrobić.. Proszę więc o jakąś wskazówkę lub tłumaczenie..
PS Utknąłem też na takim równaniu: \(cosx - sinx=\)\(\frac{1}{cosx}\). Tu doszedłem do sinx=0 v sinx=-cosx ..
Co zrobić z tym drugim ? .. Z rysunku nie da się chyba odczytać więc jak ? ..;/
Wyznacz zbiór wartości f. tryg.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
bolc
- Stały bywalec
- Posty: 275
- Rejestracja: 26 sty 2010, 23:22
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 4 razy
Ja bym zrobił to tak :
\(f(x)=sin^4x+cos^4x \Rightarrow f(x)=sin^4x+(1-sin^2x)^2 \Rightarrow f(x)=sin^4x+1-2sin^2x+sin^4x\\ \Rightarrow f(x)=2sin^4x - 2sin^2x+1\)
funkcja ta osiąga wartość najmniejszą, ponieważ, ma \(a>0\). Wartość najmniejsza będzie w wierzchołku tej funkcji, czyli \(p= \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) oraz \(q= \frac{- \Delta }{4a} \Rightarrow q= \frac{-(4-8)}{8} = \frac{1}{2}\)
Mamy więc najmniejszą wartość jaką przyjmuje ta funkcja. Teraz wystarczy znaleźć jej wartość największą. \(sin^4x\) i \(sin^2x\) przyjmują wartości z przedziału \(<0,1>\) więc sprawdzamy wartość funkcji dla \(sin^2x=0\) i \(sin^2x=1\). Jak widzimy w obu przypadkach funkcja osiąga wartość \(1\).
Odp : zbiorem wartości tej funkcji jest przedział \(< \frac{1}{2} ;1>\)
\(f(x)=sin^4x+cos^4x \Rightarrow f(x)=sin^4x+(1-sin^2x)^2 \Rightarrow f(x)=sin^4x+1-2sin^2x+sin^4x\\ \Rightarrow f(x)=2sin^4x - 2sin^2x+1\)
funkcja ta osiąga wartość najmniejszą, ponieważ, ma \(a>0\). Wartość najmniejsza będzie w wierzchołku tej funkcji, czyli \(p= \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) oraz \(q= \frac{- \Delta }{4a} \Rightarrow q= \frac{-(4-8)}{8} = \frac{1}{2}\)
Mamy więc najmniejszą wartość jaką przyjmuje ta funkcja. Teraz wystarczy znaleźć jej wartość największą. \(sin^4x\) i \(sin^2x\) przyjmują wartości z przedziału \(<0,1>\) więc sprawdzamy wartość funkcji dla \(sin^2x=0\) i \(sin^2x=1\). Jak widzimy w obu przypadkach funkcja osiąga wartość \(1\).
Odp : zbiorem wartości tej funkcji jest przedział \(< \frac{1}{2} ;1>\)