Zad1
Wykaż że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych, z których najmniejszą jest 2k-3 gdzie knależy do C, podzielona przez 3 daje reszte 2.
Zad2
Wykaż że jeśli x jest liczbą całkowitą nieparzystą to liczba postaći x^6-x^4-x^2 + 1 jest podzielna przez 32.
Zad3
Wykaż że jeśli a>2 i b<4 to ab/2 + 4<b + 2a
Zad4.
Wiadomo że x + y + 2 = 0. Udowodnij że wartość wyrazenia x^2+y^2+xy-4 jest najmniejsza dla x=y=-1
zad5.
Wykaż że dla dowolnego kąta ostrego alfa prawdziwa jest nierówność tan^2+ctg^2>=2
Zad6Wykaż że jeśli a i b nie są równe zeru i a+b są różne od zera i a/a+b=1/ oierwiastek z 3 to b/a+b=3-pierw z 3/3
proszę o szybką pomoc
zadania na dowodzenie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
\((2k-3)^2+(2k-2)^2+(2k-1)^2=4k^2-12k+9+4k^2-8k+4+4k^2-4k+1=12k^2-24k+14=\\=12k^2-24k+12+2=3(4k^2-8k+4)+2\)
\(k \in C \Rightarrow 4k^2-8k+4 \in C\) , to liczba \(3(4k^2-8k+4)\) dzieli się przez 3. Liczba \(3(4k^2-8k+4)+2\) jest postaci \(3c+2,\ gdzie\ c \in C\), czyli daje w dzieleniu przez 3 resztę równą 2.
\((2k-3)^2+(2k-2)^2+(2k-1)^2=4k^2-12k+9+4k^2-8k+4+4k^2-4k+1=12k^2-24k+14=\\=12k^2-24k+12+2=3(4k^2-8k+4)+2\)
\(k \in C \Rightarrow 4k^2-8k+4 \in C\) , to liczba \(3(4k^2-8k+4)\) dzieli się przez 3. Liczba \(3(4k^2-8k+4)+2\) jest postaci \(3c+2,\ gdzie\ c \in C\), czyli daje w dzieleniu przez 3 resztę równą 2.
2.
\(x^6-x^4-x^2+1=x^4(x^2-1)-(x^2-1)=(x^2-1)(x^4-1)=(x-1)(x+1)(x^2-1)(x^2+1)=\\=(x-1)(x+1)(x-1(x+1)(x^2+1)\)
Jeśli x jest nieparzystą liczbą całkowitą, to każda z liczb tego iloczynu jest liczbą parzystą.
Niech \(x-1=2m,\ x+1=2n,\ x^2+1=2k,\ gdzie\ m,n,k \in C\).
Wtedy liczba wyjściowa ma postać: \(4m^2\cdot4n^2\cdot2k=32m^2n^2k=32c,\ gdzie\ c \in C\), czyli jest liczbą podzielną przez 32.
\(x^6-x^4-x^2+1=x^4(x^2-1)-(x^2-1)=(x^2-1)(x^4-1)=(x-1)(x+1)(x^2-1)(x^2+1)=\\=(x-1)(x+1)(x-1(x+1)(x^2+1)\)
Jeśli x jest nieparzystą liczbą całkowitą, to każda z liczb tego iloczynu jest liczbą parzystą.
Niech \(x-1=2m,\ x+1=2n,\ x^2+1=2k,\ gdzie\ m,n,k \in C\).
Wtedy liczba wyjściowa ma postać: \(4m^2\cdot4n^2\cdot2k=32m^2n^2k=32c,\ gdzie\ c \in C\), czyli jest liczbą podzielną przez 32.
5.
Skorzystam ze znanej nierówności:
\(a,b \in R \Rightarrow (a-b)^2 \ge 0 \Rightarrow a^2-2ab+b^2 \ge 0 \Rightarrow a^2+b^2 \ge 2ab\)
\(tg^2\alpha+ctg^2\alpha=tg^2\alpha+\frac{1}{tg^2\alpha}=\frac{tg^4\alpha+1}{tg^2\alpha} \ge \frac{2tg^2\alpha}{tg^2\alpha}=2\)
\((tg^2\alpha-1)^2 \ge 0 \Rightarrow tg^4\alpha+1 \ge 2tg^2\alpha\)
Skorzystam ze znanej nierówności:
\(a,b \in R \Rightarrow (a-b)^2 \ge 0 \Rightarrow a^2-2ab+b^2 \ge 0 \Rightarrow a^2+b^2 \ge 2ab\)
\(tg^2\alpha+ctg^2\alpha=tg^2\alpha+\frac{1}{tg^2\alpha}=\frac{tg^4\alpha+1}{tg^2\alpha} \ge \frac{2tg^2\alpha}{tg^2\alpha}=2\)
\((tg^2\alpha-1)^2 \ge 0 \Rightarrow tg^4\alpha+1 \ge 2tg^2\alpha\)
-
anka
- Expert
- Posty: 6587
- Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
- Podziękowania: 30 razy
- Otrzymane podziękowania: 1117 razy
- Płeć:
3.
\(\frac{ab}{2} + 4<b + 2a\)
\(\frac{ab}{2} + 4-b - 2a<0\)
\(ab + 8-2b - 4a<0\)
\((ab -4a)-2(b - 4)<0\)
\(a(b -4)-2(b - 4)<0\)
\((b -4)(a-2)<0\)
\(\{b -4<0\\a-2>0\) lub \(\{\{b -4>0\\a-2<0\)
\(\{b<4\\a>2\) lub \(\{b>4\\a<2\)
Zgadza się, tylko trzeba zacząć dowód od końca.
\(\frac{ab}{2} + 4<b + 2a\)
\(\frac{ab}{2} + 4-b - 2a<0\)
\(ab + 8-2b - 4a<0\)
\((ab -4a)-2(b - 4)<0\)
\(a(b -4)-2(b - 4)<0\)
\((b -4)(a-2)<0\)
\(\{b -4<0\\a-2>0\) lub \(\{\{b -4>0\\a-2<0\)
\(\{b<4\\a>2\) lub \(\{b>4\\a<2\)
Zgadza się, tylko trzeba zacząć dowód od końca.
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.