Planimetria- zakres rozszerzony

[bestrong17]

1. Krótsza przekątna równoległoboku tworzy odpowiednio z krótszym i dłuższym bokiem kąty \(\alpha\), \(\beta\). Oblicz stosunek długości dłuższego boku równoległoboku do długości krótszej przekątnej.

2. Dany jest trójkąt o przyprostokątnych 5 i 12. Wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną dzieli ją w stosunku: A.\(\frac{5}{12}\) B.\(\frac{5}{13}\) C.\(\frac{25}{144}\) D.\(\frac{25}{169}\)
Nie znam poprawnej odpowiedzi dlatego zamieszczam wszystkie.

[lambda]

1. Krótsza przekątna równoległoboku tworzy odpowiednio z krótszym i dłuższym bokiem kąty \(\alpha\), \(\beta\). Oblicz stosunek długości dłuższego boku równoległoboku do długości krótszej przekątnej.

d - krótsza przekątna
a - dłuższy bok równoległoboku

\(\frac{a}{sin \alpha}= \frac{d}{sin(180°-( \alpha + \beta ))} \\ \frac{a}{sin \alpha} = \frac{d}{sin ( \alpha + \beta)} \\ \frac{a}{d}= \frac{sin \alpha}{sin( \alpha + \beta)}\)

[Galen]

Zad.2
Trójkąty DCB i DCA są podobne.
CD jest wysokością trójkąta prostokątnego ABC poprowadzoną z wierzchołka kąta prostego.
\(|BC|=5\\|AC|=12\\|AB|= \sqrt{5^2+12^2}= \sqrt{169}=13\)
Obliczam |CD|=h z pola trójkąta ABC.
\(\frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12\\h= \frac{60}{13}\)
Oznaczam:
\(|BD|=x\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;|AD|=13-x\)
Z podobieństwa trójkątów jest:
\(\frac{BD}{h}= \frac{h}{DA}\;\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\; h= \frac{60}{13}\\
\frac{x}{ \frac{60}{13} }= \frac{ \frac{60}{13} }{13-x}\\-x^2+13x= \frac{3600}{169}\\-x^2+13x- \frac{3600}{169}=0\;\;\;\;i\;\;\;x\in (0;13)\)
\(\Delta= \frac{14161}{169}\\ \sqrt{\Delta}= \frac{119}{13}\\x_1= \frac{25}{13}\\x_2= \frac{144}{13}\)
Stosunek tych odcinków:
\(\frac{x}{13-x}= \frac{ \frac{25}{13} }{ \frac{144}{13} } = \frac{25}{144}\)