wyznacz przedzialy monotonicznisci oraz ekstrema funkcji:

[Klasyczny]

f(x)=\(x^2e^{-x}\)

[Galen]

\(f(x)=x^2 e^{-x}\\f'(x)=2x e^{-x}-x^2 e^{-x}=x e^{-x}(2-x)\)
\(f'(x)=0\;\;gdy\;\;\;xe^{-x}=0\;\;\;lub\;\;2-x=0\\czyli\;\;\;x=0\;\;\;lub\;\;\;x=2\)
\(f'(x)>0\;\;gdy\;\;xe^{-x}>0\;\;i\;\;2-x>0\\czyli\\x>0\;\;\;\;i\;\;\;x<2\\x\in (0;2)\)
lub
\(x<0\;\;\;\;i\;\;2-x<0\\czyli\\x<0\;\;i\;\;x>2\)
tu otrzymuję zbiór pusty
Ostatecznie f'(x)>0 dla \(x\in (0;2)\)
W tym przedziale funkcja jest rosnąca.
\(f'(x)<0\;\;gdy\;\;x<0\;\;\;i\;\;2-x>0\;\;\;\;\;czyli\;\;\;x<0\)
lub
\(x>0\;\;\;i\;\;\;2-x<0\;\;\;\;czyli\;\;\;x>2\)
W przedziałach \((-\infty;0) \;\;oraz\;\;(2;+\infty)\) funkcja jest malejąca.
\(f_{min}=f(0)=0\\f_{MAX}=f(2)=4\cdot e^{-2}= \frac{4}{e^2}\)

[lambda]

\(f(x)=x^2e^{-x}\)
\(f'(x)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=xe^{-x}(2-x)\)
\(f'(x)=0 \iff x=0 \vee x=2\)
\(f'(x)>0 \iff x \in (0;2)\) -> funkcja rosnąca
\(f'(x)<0 \iff x \in (- \infty ;0) \cup (2; + \infty )\) -> funkcja malejącą
\(f_{min}=f(0)=0\)
\(f_{max}=f(2)= \frac{4}{e^2}\)