Oblicz granicę twierdzeniem d'Hospitala

[Karol_2015]

\(\Lim_{x\to0^{+}}x^{\sin x}\)
\(\Lim_{x\to0^{+}}( \ctg x)^{ \frac{1}{ \ln x} }\)

[patryk00714]

skorzystaj z tożsamości: \[f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}.\] następnie zbadaj, z jakim symbolem nieoznaczonym masz do czynienia i przerób go tak, abyś mógł zastosować regułe d'H.

[Karol_2015]

Dzięki za podpowiedź,
Moje wyniki to dla drugiego \(e^{-1}\)
Mógłby ktoś potwierdzić?

Jeśli chodzi o pierwszy przykład to się zastanawiam, nad prostą być może sprawą, mianowicie, czy \(\Lim_{x\to 0^{+} }\sin 2x = 0\)??

[radagast]

\(\Lim_{x\to0^{+}}x^{\sin x}\)

\(\Lim_{x\to0^{+}}x^{\sin x}= \Lim_{x\to0^{+}} e^{\ln \left(x^{\sin x} \right) }= \Lim_{x\to0^{+}} e^{\sin x \ln \left(x \right) }= \Lim_{x\to0^{+}} e^ { \frac{ln \left(x \right)}{ \frac{1}{\sin x } } }=^H \Lim_{x\to0^{+}} e^ { \frac{ \frac{1}{x} }{ -\frac{cos x}{\sin^2 x } } }= \Lim_{x\to0^{+}} e^ {- \frac{\sin^2 x}{x cos x} }=\\
\Lim_{x\to0^{+}} e^ {- \frac{\sin x}{\cos x} }=e^0=1\)
No i to raczej jest dobrze :

ScreenHunter_1015.jpg (15.3 KiB) Przejrzano 1338 razy

[panb]

Drugie jest OK

[radagast]

\(\Lim_{x\to0^{+}}( \ctg x)^{ \frac{1}{ \ln x} }\)

\(\Lim_{x\to0^{+}}( \ctg x)^{ \frac{1}{ \ln x} }=\Lim_{x\to0^{+}} e^{ln ( \ctg x)^{ \frac{1}{ \ln x} }}=\Lim_{x\to0^{+}} e^{{ \frac{1}{ \ln x} } \cdot ln ( \ctg x)}=\Lim_{x\to0^{+}} e^{{ \frac{ ln ( \ctg x)}{ \ln x} } }=^H\Lim_{x\to0^{+}} e^{{ \frac{ \frac{ -\frac{1}{\sin^2 x} }{\ctg x} }{ \frac{1}{x} } } }=\Lim_{x\to0^{+}} e^{-{ \frac{ \frac{\tg x}{\sin^2 x} }{ \frac{1}{x} } } }=\\
\Lim_{x\to0^{+}} e^{-{ \frac{ \frac{1}{\sin x \cos x} }{ \frac{1}{x} } } }=\Lim_{x\to0^{+}} e^{-{ \frac{2x}{2\sin x \cos x} } }=\Lim_{x\to0^{+}} e^{-{ \frac{2x}{\sin 2x } } }=e^{-1}= \frac{1}{e}\)
I to też jest raczej ok :

ScreenHunter_1016.jpg (9.84 KiB) Przejrzano 1330 razy