Oblicz całki

[Klasyczny]

a) \(\int_{}^{}\)x\(^2\)sinxdx
b) \(\int_{}^{}\)\(\sqrt{x}\)lnxdx
c)\(\int_{}^{}\)\(\frac{3x}{3 \sqrt{x^2-1} }dx\)
d)\(\int_{}^{}\)\(sinxcos^5xdx\)
e)\(\int_{}^{}\)\(\frac{x+5}{x^2+4x+3} dx\)
f)\(\int_{}^{}\)\(\frac{x+3}{ \sqrt{x^2+4x+3} }dx\)
g)\(\int_{}^{}\)\(\frac{2x+2}{x^3-1}dx\)
h)\(\int_{}^{}\)\(\frac{x+1}{ \sqrt{-x^2+2x+3} }dx\)

[Galen]

a)Przez części (dwa razy)
\(\int_{}^{} x^2 sinx dx=\\
x^2=u\;\;\;\;\;i\;\;\;sinx=v'\\
2x=u'\;\;\;\;i\;\;\;\;v=-cosx\\
=-x^2 cosx- \int_{}^{} (-2x cosx)dx=\\-x^2 cosx+2xsinx- 2\int_{}^{} sinx dx=\\=-x^2 cos x+2xsinx+2 cosx+C=2x sinx-(x^2-2)cos x+C\)

[Klasyczny]

Bardzo proszę o rozwiązanie reszty.

[Galen]

b)Też przez części.
\(\int_{}^{} \sqrt{x}lnx dx=\\u'= \sqrt{x}=x^{ \frac{1}{2} }\;\;\;\;to\;\;\;\;u= \int_{}^{} u^{ \frac{1}{2} }= \frac{2}{3}x^{ \frac{3}{2} }\\v=lnx\;\;\;to\;\;\;\;\;\;\;v'= \frac{1}{x}\)
\(\int_{}^{} \sqrt{x } lnxdx= \frac{2}{3}x^{ \frac{3}{2} }lnx- \frac{2}{3} \int_{}^{} x^{ \frac{3}{2} } \cdot \frac{1}{x}dx= \frac{2}{3}x^{ \frac{3}{2} }lnx- \frac{2}{3} \int_{}^{} x^{ \frac{1}{2} }dx=\)
\(= \ \frac{2}{3}x^{ \frac{3}{2} } lnx- \frac{4}{9}x^{ \frac{3}{2} }+C\)

[lambda]

c) \(\int_{}^{} \frac{3x}{3 \sqrt{x^2-1} } dx= \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{2x}{ \sqrt{x^2-1} }dx= \begin{vmatrix}t=x^2-1 \\ 2xdx=dt \end{vmatrix} =
\frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{1}{ \sqrt{t} }dt= \frac{1}{2} \int_{}^{} t^{- \frac{1}{2}}dt= t^ \frac{1}{2} +C= \sqrt{x^2-1} +C\)

[Robakks]

f) podstawienie \(\sqrt{x^2+4x+3}=t-x\)
h)można zastosować podstawienie \(\sqrt{-x^2+2x+3}=(x-3)t\)
ale wystarczy sprowadzić trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej

[radagast]

e)\(\int_{}^{}\)\(\frac{x+5}{x^2+4x+3} dx\)

\(\displaystyle \int\frac{x+5}{x^2+4x+3} dx=\int \frac{2}{x+1}- \frac{1}{x+3}dx= 2\ln |x+1|-\ln |x+3|+C= \ln \frac{(x+1)^2}{|x+3|} +C\)

[radagast]

d)\(\int_{}^{}\)\(sinxcos^5xdx\)

\(\displaystyle \int \sin x\cos^5xdx= \begin{bmatrix} \cos x=t\\x=\arccos t\\dx= -\frac{dt}{ \sqrt{1-t^2} } \end{bmatrix}=\int \sqrt{1-t^2} \cdot t^5 \cdot \frac{dt}{- \sqrt{1-t^2} }= -\int t^5 dt= -\frac{1}{6}t^6+C=- \frac{\cos^6 x}{6}+C\)

[radagast]

g się dość brzydko liczy ( nie pasuje do pozostałych przykładów). Podejrzewam , że pomyliłeś znak w liczniku (jakby był minus to liczyłoby się ładnie - jak pozostałe przykłady)