Kilka zadanek z trygonometri

[cFFaniak]

Sory że Was męczę, ale coś nie chcą mi one wyjść...

Zad 1
Wykaż że jeśli \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\) to \(cos^2 \alpha +cos^2 \beta +cos^2 \gamma +2cos \alpha cos \beta cos \gamma =1\)

Zad 2
Niech x będzie dowolną liczbą rzeczywistą.
a) Wykaż, że \(cos(4x)=8cos^4x-8cos^2x+1\)
b) Korzystając ze wzoru z punktu a oblicz \(cos \frac{ \pi }{24}\)

Zad 3
Zmianę głębokości wody w ciągu doby w pewnym porcie opisuje w przybliżeniu funkcja f(x)= \(-2cos( \frac{ \pi x}{6} )+7\), przy czym f(x) oznacza głębokość wody (w metrach) x godzin po północy \(x \in <0,24>\).
a) Jaka jest najmniejsza i największa głębokość wody w porcie?
b) Kuter rybacki może wpłynąć do portu wtedy, gdy poziom wody w porcie jest równy co najmniej 6m. W jakich godzinach ten kuter może wpłynąć do portu.
c) Zanurzenie statku jest równe 6m. Aby statek mógł wpłynąć do portu, głębokość wody powinna być o co najmniej 2m większa niż zanurzenie statku. Ile w ciągu doby jest godzin, w czasie których ten statek może wpłynąć do portu?

Zad 4
Dla jakich wartości parametru m, równanie \(m^2-1= \frac{sinx}{2} + \frac{sin^2x}{4} + \frac{sin^3x}{8} \frac{sin^4x}{16}+...\) ma rozwiązanie?

[eresh]

Zad 2
Niech x będzie dowolną liczbą rzeczywistą.
a) Wykaż, że \(cos(4x)=8cos^4x-8cos^2x+1\)

\(\cos 4x=\cos(x+3x)=\cos x\cos 3x-\sin x\sin 3x\)

\(\cos 3x=\cos (x+2x)=\cos x\cos 2x-\sin x\sin 2x=\cos x(2\cos^2x-1)-2\sin^2x\cos x=\\=2\cos^3 x-\cos x-2\cos x(1-\cos^2x)=2\cos^3x-\cos x-2\cos x+2\cos^3x=4\cos^3x-3\cos x\)


\(\sin 3x=\sin (x+2x)=\sin x\cos 2x+\cos x\sin 2x=\sin x(1-2\sin^2x)+2\cos^2x\sin x=\\ \sin x-2\sin^3x+2\sin x(1-\sin^2x)=\\=\sin x-2\sin^3x+2\sin x-2\sin^3x=-4\sin^3x+3\sin x=\\\)



\(\cos 4x=\cos(x+3x)=\cos x\cos 3x-\sin x\sin 3x=\cos x (4\cos^3x-3\cos x)-\sin x(-4\sin^3x+3\sin x)\)
\(=4\cos^4x-3\cos^2x+4\sin^4x-3\sin^2x=4\cos^4x-3\cos^2x+4(1-\cos^2x)^2-3(1-\cos^2x)=\\
=4\cos^4x-3\cos^2x+4-8\cos^2x+4\cos^4x-3+3\cos^2x=8\cos^4x-8\cos^2x+1\)

[eresh]

Zad 2
Niech x będzie dowolną liczbą rzeczywistą.

b) Korzystając ze wzoru z punktu a oblicz \(cos \frac{ \pi }{24}\)
?

\(\cos\frac{\pi}{6}=\cos \left( 4\cdot\frac{\pi}{24}\right)=8\cos^4\frac{\pi}{24}-8\cos^2\frac{\pi}{24}+1\\
8\cos^4\frac{\pi}{24}-8\cos^2\frac{\pi}{24}+\frac{2-\sqrt{3}}{2}=0\\
\cos\frac{\pi}{24}=x\\\)
do rozwiązania równanie:
\(8x^4-8x^2+\frac{2-\sqrt{3}}{2}=0\)

[eresh]

Zad 3
Zmianę głębokości wody w ciągu doby w pewnym porcie opisuje w przybliżeniu funkcja f(x)= \(-2cos( \frac{ \pi x}{6} )+7\), przy czym f(x) oznacza głębokość wody (w metrach) x godzin po północy \(x \in <0,24>\).
a) Jaka jest najmniejsza i największa głębokość wody w porcie?

\(-1\leq\cos(-\frac{\pi x}{6})\leq 1\\
-2\leq -2\cos(\frac{\pi x}{6})\leq 2\\
-2+7\leq -2\cos(\frac{\pi x}{6})+7\leq 2+7\)
najmniejsza głębokość jest o 5, największa o 9

[eresh]

Zad 3
Zmianę głębokości wody w ciągu doby w pewnym porcie opisuje w przybliżeniu funkcja f(x)= \(-2cos( \frac{ \pi x}{6} )+7\), przy czym f(x) oznacza głębokość wody (w metrach) x godzin po północy \(x \in <0,24>\).

b) Kuter rybacki może wpłynąć do portu wtedy, gdy poziom wody w porcie jest równy co najmniej 6m. W jakich godzinach ten kuter może wpłynąć do portu.

\(-2\cos\frac{\pi x}{6}+7\geq 6\\
-2\cos\frac{\pi x}{6}\geq -1\\
\cos\frac{\pi x}{6}\leq\frac{1}{2}\\
\frac{\pi x}{6}=t\\
\cos t\leq\frac{1}{2}\\
t\in \left[ \frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right]\\
\frac{\pi x}{6}\in \left[ \frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right]\\
x\in \in \left[ 2+12k,10+12k\right]\\\)
kuter może wpłynąć do portu w godzinach:
od 2 do 10
od 14 do 22

[eresh]

Zad 3
Zmianę głębokości wody w ciągu doby w pewnym porcie opisuje w przybliżeniu funkcja f(x)= \(-2cos( \frac{ \pi x}{6} )+7\), przy czym f(x) oznacza głębokość wody (w metrach) x godzin po północy \(x \in <0,24>\).

c) Zanurzenie statku jest równe 6m. Aby statek mógł wpłynąć do portu, głębokość wody powinna być o co najmniej 2m większa niż zanurzenie statku. Ile w ciągu doby jest godzin, w czasie których ten statek może wpłynąć do portu?

\(-2\cos \left(\frac{\pi x}{6} \right)+7\geq 8\\
-2\cos\left(\frac{\pi x}{6}\right)\geq 1\\
\cos\left(\frac{\pi x}{6}\right)\leq -\frac{1}{2}\\
\frac{\pi x}{6}\in \left( \frac{2\pi}{3}+2k\pi,\frac{4\pi }{3}+2k\pi\right)\\
x\in \left(4+12k,8+12k \right)\)
od 4 do 8 - 4 godziny
od 16 do 20 - 4 godziny
w sumie 8 godzin

[eresh]

Zad 4
Dla jakich wartości parametru m, równanie \(m^2-1= \frac{sinx}{2} + \frac{sin^2x}{4} + \frac{sin^3x}{8} \frac{sin^4x}{16}+...\) ma rozwiązanie?

prawa strona to suma nieskończonego ciągu geometrycznego

\(a_1=\frac{\sin x}{2}\\
q=\frac{\sin x}{2}\\
|q|<1\)

\(m^2-1=\frac{a_1}{1-q}\\
m^2-1=\frac{\frac{\sin x}{2}}{1-\frac{\sin x}{2}}\\
(m^2-1) \left(1-\frac{\sin x}{2} \right) =\frac{\sin x}{2}\\
(m^2-1)(2-\sin x)=\sin x\\
2m^2-m^2\sin x-2+\sin x=\sin x\\
-m^2\sin x=2-2m^2\\
\sin x=\frac{2m^2-2}{m^2}\)

\(-1\leq \sin x\leq 1\\
-1\leq \frac{2m^2-2}{m^2}\leq 1\;\;\;m\neq 0\\
-m^2\leq 2m^2-2\leq m^2\\
2m^2-2+m^2\geq 0\;\;\;\vee\;\;\;2m^2-2\leq m^2\\
3m^2-2\geq 0\;\;\;\vee\;\;\;m^2-2\leq 0\\
m\in \left(-\infty, \frac{-\sqrt{6}}{3} \right]\cup \left[\frac{\sqrt{6}}{3},\infty \right)\;\;\;\vee\;\;\;m\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]\setminus\{0\}\\
m\in \left[-\sqrt{2},\frac{-\sqrt{6}}{3} \right]\cup \left[ \frac{\sqrt{6}}{3},\sqrt{2}\right]\)

[eresh]

Zad 1
Wykaż że jeśli \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\) to \(cos^2 \alpha +cos^2 \beta +cos^2 \gamma +2cos \alpha cos \beta cos \gamma =1\)

\(\gamma=\pi- (\alpha+\beta)\\
\cos\gamma=\cos (\pi-(\alpha+\beta))=-\cos (\alpha+\beta)=-cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)

\(\cos^2 \alpha +\cos^2 \beta +\cos^2 \gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma =\\
\cos^2\alpha+\cos^2\beta+(\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta)^2+2\cos\alpha\cos\beta (\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta)=\\
=\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\sin^2\alpha\sin^2\beta-2\sin\alpha\sin\beta\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\alpha\cos^2\beta+\\+2\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta-2\cos^2\alpha\cos^2\beta=\\
=\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\sin^2\alpha\sin^2\beta-\cos^2\beta\cos^2\alpha=\cos^2\alpha+\cos^2\beta+(1-\cos^2\alpha)(1-\cos^2\beta)-\cos^2\beta\cos^2\alpha=\\
=\cos^2\alpha+\cos^2\beta+1-\cos^2\beta-\cos^2\alpha+\cos^2\alpha\cos^2\alpha-\cos^2\beta\cos^2\alpha=1\)

[Leeway1234]

Dlaczego w zadaniu 4. sinx podstawiam do warunku na zbieznosc szeregu geom. i dlaczego przedzialy sa zamkniete?