ciągi, trygonometria

[Leeway1234]

Dla jakich wartości parametru m równanie \(1+2 cos^2 x + 4 cos^4 x + ... =m\) ma rozwiązania?

Proszę o dokładne rozpisanie.

[patryk00714]

zastosuj wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego dla \(q=2\cos^2 x\) oraz \(a_1=1\)

[Leeway1234]

Właśnie to mam i jestem w momencie:

\(cos^2x > - \frac{1}{2}\) \(\wedge\) \(cos^2x < \frac{1}{2}\)

i komplenie nie wiem co dalej jak to rozwiazanie odczytac i co potem...

[patryk00714]

\[S=\frac{1}{1-2\cos ^2 x}=\frac{1}{\sin ^2 x - \cos ^2x}=-\frac{1}{\cos 2x}=m\] czyli \[\cos 2 x = -\frac{1}{m}\] czyli \(-1 \le -\frac{1}{m} \le 1\).

[Leeway1234]

a dlaczego \(cos2x\) podtawiam do warunku na szereg geom. \(|q|<1\) skoro moje q wynosi \(2 cos^2x\) ?

rachunkowo to rozwiazałam i jest tak jak w odp.
czyli \(m \in <1; + \infty )\)
ale nie do końca wiem jak to zadanie działa , rozumiem do momentu \(cos2x= - \frac{1}{m}\) i dalej nie wiem dlaczego mam zrobić \(-1 \le - \frac{1}{m} \le 1.\)
+ dlaczego \(-1 \le - \frac{1}{m} \le 1.\) tu mam domknięte przedziały?

[octahedron]

\(0\le\cos^2x<\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad S=\frac{1}{1-2\cos^2x}=m\in[1,\infty)\)