Rozwiązanie działania cosinus
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Rozwiązanie działania cosinus
Mam problem z rozwiązaniem tego poniższego działania:
\(\frac{\sqrt{2}}{2}(3\cdot \cos(\frac{\pi \cdot 1}{8})+4\cdot \cos(\frac{\pi \cdot 3}{8})+5\cdot \cos(\frac{\pi \cdot 5}{8})+6\cdot \cos(\frac{\pi \cdot 7}{8}))=\)
Wynik w wolframie to \(-2.2304\).
Czy trzeba skorzystać z tabeli? Potrzebne są jakieś wzory do obliczania cosinusa?
\(\frac{\sqrt{2}}{2}(3\cdot \cos(\frac{\pi \cdot 1}{8})+4\cdot \cos(\frac{\pi \cdot 3}{8})+5\cdot \cos(\frac{\pi \cdot 5}{8})+6\cdot \cos(\frac{\pi \cdot 7}{8}))=\)
Wynik w wolframie to \(-2.2304\).
Czy trzeba skorzystać z tabeli? Potrzebne są jakieś wzory do obliczania cosinusa?
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
No, jeżeli np. połączysz \(3\cos \frac{\pi}{8}+3\cos \frac{7\pi}{8}\) i skorzystasz ze wzoru na sumę cosinusów, to wyjdzie zero. Podobnie po połączeniu \(4\cos \frac{3\pi}{8}+4\cos \frac{5\pi}{8}\).
Czyli po tych czystkach zostanie \(\cos \frac{5\pi}{8}+3\cos \frac{7\pi}{8}\) (i to jest ok, bo wolfram daje taki sam wynik).
Czyli po tych czystkach zostanie \(\cos \frac{5\pi}{8}+3\cos \frac{7\pi}{8}\) (i to jest ok, bo wolfram daje taki sam wynik).
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
To jeszcze nie koniec. Trzeba policzyć \(\cos \frac{5\pi}{8}+3\cos \frac{7\pi}{8}\).
\(\cos \frac{5\pi}{8}+3\cos \frac{7\pi}{8}=\cos \frac{5\pi}{8} +\cos \frac{7\pi}{8} +2\cos \frac{7\pi}{8}=2\cos \frac{6\pi}{8}\cos \frac{\pi}{8}+2\cos(\pi- \frac{\pi}{8})=- \frac{2}{\sqrt2}\cos \frac{\pi}{8}-2\cos \frac{\pi}{8}=\\= \frac{-2-2\sqrt2}{\sqrt2}\cos \frac{\pi}{8}= \frac{-2-2\sqrt2}{\sqrt2}\cdot \cos \left( \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{4} \right)= \frac{-2-2\sqrt2}{\sqrt2}\cdot \sqrt{ \frac{1+ \frac{\sqrt2}{2} }{2} }= \frac{-2-2\sqrt2}{\sqrt2} \cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}= \frac{(-1-\sqrt2) \sqrt{2+\sqrt2} }{\sqrt2}\)
\(\cos \frac{5\pi}{8}+3\cos \frac{7\pi}{8}=\cos \frac{5\pi}{8} +\cos \frac{7\pi}{8} +2\cos \frac{7\pi}{8}=2\cos \frac{6\pi}{8}\cos \frac{\pi}{8}+2\cos(\pi- \frac{\pi}{8})=- \frac{2}{\sqrt2}\cos \frac{\pi}{8}-2\cos \frac{\pi}{8}=\\= \frac{-2-2\sqrt2}{\sqrt2}\cos \frac{\pi}{8}= \frac{-2-2\sqrt2}{\sqrt2}\cdot \cos \left( \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{4} \right)= \frac{-2-2\sqrt2}{\sqrt2}\cdot \sqrt{ \frac{1+ \frac{\sqrt2}{2} }{2} }= \frac{-2-2\sqrt2}{\sqrt2} \cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}= \frac{(-1-\sqrt2) \sqrt{2+\sqrt2} }{\sqrt2}\)
Odpowiedź: \(\frac{\sqrt{2}}{2}(3\cdot \cos(\frac{\pi \cdot 1}{8})+4\cdot \cos(\frac{\pi \cdot 3}{8})+5\cdot \cos(\frac{\pi \cdot 5}{8})+6\cdot \cos(\frac{\pi \cdot 7}{8}))= \frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac{(-1-\sqrt2) \sqrt{2+\sqrt2} }{\sqrt2}= \frac{-(\sqrt2+1)\sqrt{\sqrt2+2}}{2}\)
Re:
Dziękuję, teraz wszystko jasne.
Utknęłam znów przy tym:
\(\cos \left( \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{4} \right)= \sqrt{ \frac{1+ \frac{\sqrt2}{2} }{2} }\)
Nie mam pojęcia, jak to zostało obliczone. Domyślam, że \(cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2}\), a co z \(\frac{1}{2}\)? Skąd ten duży pierwiastek?
Resztę działań już rozkminiam, tylko tego powyższego nie bardzo. A o to chodzi, żeby to zrozumieć, a nie przepisywać gotowca
Utknęłam znów przy tym:
\(\cos \left( \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{4} \right)= \sqrt{ \frac{1+ \frac{\sqrt2}{2} }{2} }\)
Nie mam pojęcia, jak to zostało obliczone. Domyślam, że \(cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2}\), a co z \(\frac{1}{2}\)? Skąd ten duży pierwiastek?
Resztę działań już rozkminiam, tylko tego powyższego nie bardzo. A o to chodzi, żeby to zrozumieć, a nie przepisywać gotowca
-
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Masz do policzenia \(cos( \frac{\pi}{8})\) znasz wartość cosinusa dla pi/4,czyli dla dwukrotności pi/8.
Wzór na cos2x
\(cos2x=2cos^2x-1\\2cos^2x=1+cos2x\\cos^2x= \frac{1}{2}(cos2x+1)\)
wstaw \(x= \frac{\pi}{8}\\2x= \frac{\pi}{4}\\cos^2( \frac{\pi}{8})= \frac{1}{2}(cos( \frac{\pi}{4}+1 )= \frac{ \frac{ \sqrt{2} }{2}+1 }{2}\)
\(cos( \frac{\pi}{8})= \sqrt{\frac{1+ \frac{ \sqrt{2} }{2}}{2} }= \sqrt{ \frac{2+ \sqrt{2} }{4} }= \frac{ \sqrt{2+ \sqrt{2} } }{2}\)
Wzór na cos2x
\(cos2x=2cos^2x-1\\2cos^2x=1+cos2x\\cos^2x= \frac{1}{2}(cos2x+1)\)
wstaw \(x= \frac{\pi}{8}\\2x= \frac{\pi}{4}\\cos^2( \frac{\pi}{8})= \frac{1}{2}(cos( \frac{\pi}{4}+1 )= \frac{ \frac{ \sqrt{2} }{2}+1 }{2}\)
\(cos( \frac{\pi}{8})= \sqrt{\frac{1+ \frac{ \sqrt{2} }{2}}{2} }= \sqrt{ \frac{2+ \sqrt{2} }{4} }= \frac{ \sqrt{2+ \sqrt{2} } }{2}\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.