Monotoniczność i ograniczoność

[gucio102]

Należy zbadać monotoniczność i ograniczoność ciągu : a) \(a_n\)=\(\sqrt{n+2}\)-\(\sqrt{n+5}\) b) \(b_n\)=\(\frac{n^n}{n!}\)

[Galen]

a)
\(a_n= \sqrt{n+2}- \sqrt{n+5}\)
\(a_1= \sqrt{3}- \sqrt{6}= \sqrt{3}(1- \sqrt{2})\)
Ciąg jest ograniczony z dołu przez \(\sqrt{3}(1- \sqrt{2})\) i z góry przez liczbę zero.
Ciąg jest rosnący.

[Galen]

\(b_n= \frac{n^n}{n!}\\b_{n+1}= \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\)
Monotoniczność:
\(\frac{b_{n+1}}{b_n}= \frac{(n+1)^n \cdot (n+1)^1}{n! \cdot (n+1)} \cdot \frac{n!}{n^n}=\)
\(= \frac{(n+1)^n}{n^n}=( \frac{n+1}{n} )^n = \frac{(1+ \frac{1}{n})^n }{1^n}=e>1\;\; \So \;\;(a_n)\;jest\;\;rosnący\)
Nie jest ograniczony.
Z dołu ogranicza go liczba 1,ale z góry nic nie ogranicza.