analiza matematyczna

[beniabodzio]

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)=x^3-x^2-x-1

[miodzio1988]

W jakim punkcie?

[beniabodzio]

W punkcie P(x; 1)

[Panko]

Najpierw ten punkt : konkretyzacja : \(P=(x,1)\) i po wstawieniu do równania jest \(x^3-x^2-x-1=1\)
czyli \(x^3-x^2-x-2=0\)
\(x^3-x^2-2x +(x-2)=0\)
\(\\) \(x(x^2-x-2)+(x-2)=0\) \(\\)
\(\) \(x(x-2)(x+1)+(x-2)=0\)
\((x-2)(x(x+1)+1)=0\)
\((x-2)(x^2+x+1)=0\)
\(x-2=0\)
\(x=2\)
Ten punkt to \(P=(2,1)\)
.........................................................................
prosta styczna do wykresu w tym punkcie to \(y=ax+b\)
gdzie definicyjnie : \(a=f'(x)\) dla \(x=2\)
\(f'(x)=3x^2-2x-1\)
\(a=f'(2)= 3 \cdot 2^2-2 \cdot 2-1=7\)
czyli \(y=7x+b\) i przechodzi przez punkt : \(P=(2,1)\)
czyli \(1=7 \cdot 2+b\) stąd \(b=-13\)
...........................................................
prosta styczna \(y=7x-13\)