dla jakich wartości parametru a

[alibaba8000]

zad. 6
dla jakich wartości parametru a równanie ma dwa różne rozwiązania, dla których \(x^2-3ax+4a=0\)
ma dwa różne rozwiązania\(x_1\) i \(x_2\), dla których \(-2x_1+3x_2=8\)

[Binio1]

zad. 6
dla jakich wartości parametru a równanie ma dwa różne rozwiązania, dla których \(x^2-3ax+4a=0\)
ma dwa różne rozwiązania\(x_1\) i \(x_2\), dla których \(-2x_1+3x_2=8\)

\(\Delta = 9a^{2}-16a\)

\(9a^{2}-16a > 0\)
\(a(9a - 16) > 0\)

\(a\in(-\infty ; 0)\cup(\frac{16}{9} ; \infty)\)

\(x_{1} = \frac{3a-\sqrt{9a^{2}-16a}}{2}\)
\(x_{2} = \frac{3a+\sqrt{9a^{2}-16a}}{2}\)

\(-2\left(\frac{3a-\sqrt{9a^{2}-16a}}{2}\right) + 3\left(\frac{3a+\sqrt{9a^{2}-16a}}{2}\right) = 8\)
\(\left(\frac{-6a+2\sqrt{9a^{2}-16a}}{2}\right) + \left(\frac{9a+3\sqrt{9a^{2}-16a}}{2}\right) = 8\)
\(\frac{3a+5\sqrt{9a^{2}-16a}}{2} = 8\)
\(3a + 5\sqrt{9a^{2}-16a} = 16\)
\(5\sqrt{9a^{2}-16a} = 16 - 3a\)

\(16-3a > 0\)
\(-3a > -16\)
\(a < \frac{16}{3}\) Rozwiazan a szukamy gdy obie strony sa dodatnie teraz mozemy podnies do kwadratu

\(25(9a^{2}-16a) = (16-3a)^{2}\)
\(225a^{2}-400a = 256 - 96a + 9a^{2}\)
\(216a^{2}-304a - 256 = 0\)
\(27a^{2}-38a - 32 = 0\)

\(\Delta = 1444 + 3456 = 4900\)
\(a_{1} = \frac{38-70}{54} = - \frac{32}{54} = -\frac{16}{27}\)
\(a_{2} = \frac{38+70}{54} = \frac{108}{54} = 2\)