równanie z parametrem

[szczepano]

Treść zadania to:
Rozwiąż równanie z parametrem
\(\sqrt{x-a}+\sqrt{x+a}=x \ dla \ a>0\)

[miodzio1988]

Podnieś stronami do kwadratu (założenie na x daj od razu)

[szczepano]

no właśnie tak robiłem i odpowiedzi się nie zgadzają, myślałem czy ktoś ma inny pomysł?? bo z samych założeń wynika że x=a

[korki_fizyka]

Z założeń to wynik a, że x > a.
Tera podnieś to do kwadratu i rozwiaż metodą starożytnych jak ci dobrze radzą.

[miodzio1988]

bo z samych założeń wynika że x=a

To nie jest prawda

[korki_fizyka]

Nie pleć głupot \(\sqrt{x-a} \So x-a \ge 0 \So x \ge a\)

[miodzio1988]

bo z samych założeń wynika że x=a

To nie jest prawda

Czytaj cały temat, to sam nie będziesz głupot gadał.

bo z samych założeń wynika że x=a

Czyje to są słowa? Myśl

[szczepano]

Sprawdziłem, i źle wcześnie przepisałem równanie:

\(\sqrt{a-x}+\sqrt{a+x}=x\)

dlatego pisałem że x=a

[szczepano]

Po uwzględnieniu założeń wychodzi mi x=2 ale odpowiedzi mówią co innego, więc pytałem, może ktoś miałby inny pomysł.

[Galen]

Po podniesieniu do kwadratu jest
\((a-x)+2\sqrt{a^2-x^2}+(a+x)=x^2\\2\sqrt{a^2-x^2}=x^2-2a\)
Znów do kwadratu
\(4a^2-4x^2=(x^2-2a)^2\\4a^2-4x^2=x^4-4ax^2+4a^2\\x^4+4x^2-4ax^2=0\\x^2(x^2+4-4a)=0\\x^2=0\;\;\;lub\;\;\;x^2+4-4a=0\)
Z podanego warunku x>0 odpada x=0.
Zostaje \(x^2+4-4a=0\\x^2=4a-4\\x^2=4(a-1)\\gdy \;\;a>1\;jest\;pierwiastek\;równania\;x=2 \sqrt{a-1}\)
Liczbę przeciwną odrzucam,bo x>0.
Podstaw \(x=2 \sqrt{a-1}\) do równania wyjściowego.
\(\sqrt{a-2 \sqrt{a-1} }+ \sqrt{a+2 \sqrt{a-1} }=2 \sqrt{a-1}\)
Wyrażenie pod pierwiastkiem można zapisać jako kwadraty
\(a-2 \sqrt{a-1}=( \sqrt{a-1}-1)^2\;\;\;\;\;i\;\;\;\;a+2 \sqrt{a-1}=( \sqrt{a-1}+1)^2\)
Po wstawieniu pod pierwiastek masz wartości bezwzględne
\(| \sqrt{a-1}-1|+| \sqrt{a-1}+1|=2 \sqrt{a-1}\)
Równość będzie prawdziwa gdy wyrażenia objęte modułami są dodatnie.
\(\sqrt{a-1}-1\ge 0\;\;\;\;i\;\;\; \sqrt{a-1}+1\ge 0\)
Druga nierówność jest prawdziwa,pozostaje rozwiązać pierwszą.
\(\sqrt{a-1}\ge 1\\a-1\ge 1\\a\ge 2\)
\(Dla\;\;a\ge 2\\x=2 \sqrt{a-1}\)
\(Dla\;\;a\in\;(0;2) \;jest\;sprzeczność\)

[szczepano]

Ok dzięki. Już znalazłem błąd w rozpisaniu.