Przyśpieszenie grawitacyjne i kąt rzutu ciała

[chewing]

Proszę o pomoc, muszę to na jutro zrobić a nie rozumiem jak to robić :/

1. Pewna planeta o kształcie zbliżonym do kuli ma masę dwa razy WIĘKSZĄ od masy Ziemi,a jej promień jest dwa razy MNIEJSZY od promienia Ziemi.
Oblicz przyśpieszenie grawitacyjne na tej planecie.

2. Pewna planeta o kształcie zbliżonym do kuli ma masę dwa razy MNIEJSZĄ od masy Ziemi,a jej promień jest dwa razy WIĘKSZY od promienia Ziemi.
Oblicz przyśpieszenie grawitacyjne na tej planecie.

3. Oblicz kąt pod jakim należy wyrzucić ciało aby jego zasięg był dwa razy większy od maksymalnej wysokości.

3. Oblicz kąt pod jakim należy wyrzucić ciało aby jego zasięg był dwa razy mniejszy od maksymalnej wysokości.

[dragon]

1.

\(g \approx 10 \frac{m}{s^2}\)-przyspieszenie grawitacyjne przy powierzchni Ziemi o masie \(M_Z\) i promieniu \(R_Z\)
\(a_g\)-przyspieszenie grawitacyjne przy powierzchni planety o masie \(M\) i promieniu \(R\)
\(g= \frac{GM_{Z}}{R_{Z}^2}\\a_g= \frac{GM}{R^2}= \frac{G \cdot 2M_{Z}}{( \frac{R_{Z}}{2})^2 }=8 \frac{GM_{Z}}{R_{Z}^2}=8g\)

2.

\(a_g= \frac{GM}{R^2}= \frac{G \frac{M_{Z}}{2} }{(2R_{Z})^2}= \frac{1}{8} \cdot \frac{GM_{Z}}{R_{Z}^2}= \frac{g}{8}\)

[dragon]

3.

Trzeba skorzystać z równania toru rzutu ukośnego:

\(y=- \frac{gt^2}{2}+v_{0y}t\)

\(v_{0y}\) to wartość składowej pionowej wektora prędkości początkowej.
Jej związek z wartością prędkości początkowej to \(\frac{v_{0y}}{v_0}= \sin \alpha\)

Ponadto \(\frac{v_{0x}}{v_0}= \cos \alpha\) oraz \(x=v_{0x}t \So t= \frac{x}{v_{0x}}\), gdzie \(x\) to aktualne położenie ciała w poziomie.

Podstawiam:

\(y=- \frac{gx^2}{2v_{0}^2 \cos ^2 \alpha }+v_{0} \sin \alpha \cdot \frac{x}{v_{0} \cos \alpha }\\y=- \frac{g}{2v_{0}^2 \cos ^2 \alpha }x^2+ \tg \alpha \cdot x\)

Jeśli \(z\) to zasięg rzutu, to jego połowa jest uzyskiwana dla czasu \(t\), na który przypada wysokość maksymalna \(y=H\). Oprócz tego \(g= \frac{v_{0y}}{ \frac{z}{2 \cdot v_{0x}} }= \frac{2v_{0}^2 \sin \alpha \cos \alpha }{z}\)

Podstawiam dalej:

\(H=- \frac{2v_{0}^2 \sin \alpha \cos \alpha} {2zv_{0}^2 \cos ^2 \alpha } \cdot \frac{z^2}{4} + \tg \alpha \cdot \frac{z}{2}\)
\(H=- \frac{ \tg \alpha }{4} \cdot z+ \frac{ \tg \alpha }{2} \cdot z\)
\(H= \frac{ \tg \alpha }{4} \cdot z\)

Stąd

\(\tg \alpha =4 \frac{H}{z}\)

zasięg dwa razy większy od maksymalnej wysokości:
\(\tg \alpha =4 \cdot \frac{H}{2H}=2 \So \alpha =\arctg2\)

zasięg dwa razy mniejszy od maksymalnej wysokości:
\(\tg \alpha =4 \cdot \frac{H}{ \frac{H}{2} }=8 \So \alpha =\arctg8\)
Miary kątów znajdź w tablicach

[korki_fizyka]

3.

Trzeba skorzystać z równania toru rzutu ukośnego:

\(y=- \frac{gt^2}{2}+v_{0y}t\)

To nie jest r-nie toru , które dostaniemy po wyrugowaniu czasu i jest postaci y=f(x).

[dragon]

Prawda. Ale chodziło mi o to, że jest to produkt wyprowadzenia bazujący na wzorze z czasem. Nieszczęśliwie rozłożony opis słowny

[korki_fizyka]

W zadaniach 1 i 2 zastosuj jeden i ten sam wzór na przyspieszenie grawitacyjne: \(g=\frac{GM}{R^2}\).